Критерий устойчивости Рауса-Гурвица.

Это алгебраический критерий, по которому условия устойчивости сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы. В разной форме этот критерий был предложен английским математиком Е. Раусом, а затем швейцарским. математиком А. Гурвицем в конце XIX века. Рассмотрим без доказательства этот критерий в форме Гурвица.

Возьмем характеристический полином:

,

где полагаем а₀ > 0, что всегда можно обеспечить умножением полинома при необходимости на –1. Составим из коэффициентов этого полинома определитель:

Этот определитель называется определителем Гурвица. Он имеет n

строк и n столбцов. Первая строка содержит все нечетные коэффициенты до последнего, после чего строка заполняется до положенного числа n элементов нулями. Вторая строка включают все четные коэффициенты и тоже заканчивается нулями. Третья строка получается из первой, а четвертая из второй сдвигом вправо первой и второй строк соответственно на один элемент. На освободившееся место записывается нуль. В результате в главной диагонали определителя оказываются последовательно все коэффициенты, кроме а₀; Условие устойчивости заключается в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров.

Развернем критерий Гурвица для нескольких конкретных значений n. Для n = 1.

Условия устойчивости сводятся к неравенствам:

a₀ > 0; a₁ > 0

Отсюда, например, звено первого порядка с передаточной функцией является устойчивым, а звено с передаточной функцией является неустойчивым.

Для n =2:

Условия устойчивости: а₀ > 0; a₁ > 0; a₂ > 0, т.е. ∆ 2 > 0.

Для n =4:

D(λ) = а₀λ ⁴ + а₁ λ ³ + а₂ λ ² + а₃ λ + а₄

Условия устойчивости:

а₀ > 0; a₁ > 0; ∆ 2 = a₁ a₂ – a₀ a₃ > 0; ∆ 3> 0; ∆ 4> 0

Легко видеть, что условия устойчивости сводятся к требованию положительности всех коэффициентов. Условия устойчивости, получаемые из критерия Рауса – Гурвица усложняются с ростом порядка системы. При этом для систем достаточно высокого порядка оказывается затруднительным выяснить влияние на устойчивость системы отдельных параметров входящих в состав коэффициентов уравнения. Поэтому критерий Рауса-Гурвица применяют для уравнений невысокого порядка.