Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Примеры решения задач. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U






     

    Задача 1

    Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля для двух случаев: 1) U 1 = 51 B; 2) U 2 = 510 кВ.

    Дано: Решение:
    U 1 = 51 B U 2 = 510 кВ = 105 В Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой , (1) где h – постоянная Планка.

    Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Ек. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше энергии ее покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы):

    - в нерелятивистском случае

    , (2)

    - в релятивистском случае

    , (3)

    где – энергия покоя частицы.

    Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется:

    - в нерелятивистском случае

    , (4)

    - в релятивистском случае

    . (5)

    Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U 1 = 51 В и U 2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона и, в зависимости от этого, решим, которую из формул – (4) или – (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

    Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, равна

    Eк = eU.

    В первом случае

    Ек = eU 1 = 51 эВ = 10-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона, равной МэВ.

    Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что Ек = 10-4 m 0 c 2. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде

    .

    Учитывая, что h/moc есть комптоновская длина волны , получим:

    .

    Так как = 2, 43 пм, то

    пм = 171 пм.

    Во втором случае кинетическая энергия

    Eк = eU 2 = 510 кэВ = 0, 51 МэВ,

    т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что Ек = 0, 51 МэВ = moc 2, по формуле (5) найдем

    ,

    или .

    Подставив значение и произведя вычисления, получим:

    пм = 1, 40 пм.

    Задача 2

    Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные размеры атома.

     

    Дано: Решение:
    Ек = 10 эВ Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид ∆ px∆ x ≥ ħ /2, где ∆ px – неопределенность импульса частицы (электрона); ∆ x – неопределенность
    l min -?

    координаты частицы (в данном случае электрона); ħ = h/ 2p – приведенная постоянная Планка h.

    Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью

    Δ x = l / 2.

    Cоотношение неопределенностей можно записать в этом случае в виде

    ,

    откуда

    Физически разумная неопределенность импульса Δ p, во всяком случае, не должна превышать значение самого импульса p, т. е. Δ p ≤ p.

    Импульс р связан с кинетической энергией Ек соотношением

    р = .

    Заменим р значением (такая замена не увеличит l). Перейдем к равенству

    .

    Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим:

    l min = м = 10-10 м = 116 пм.

     

    Задача 3. Оценить относительную ширину испускаемой спектральной линии, длина волны которой составляет 0, 6 мкм, при переходе атома из возбужденного в основное состояние. Время жизни атома в возбужденном состоянии оставляет приблизительно .

    Дано: Решение:
    t= Выразим ширину испускаемой спектральной линии через энергию фотона с помощью формулы Планка: , где – частота фотона; h – постоянная Планка; ε – энергия фотона, откуда .

    Частота испускаемого фотона связана с длиной волны соотношением

    ,

    где с – скорость света в вакууме.

    Искомая величина равна .

    Для нахождения Δ ε воспользуемся соотношением неопределенностей для энергии и времени ∆ ε ∆ tћ /2,

    где – неопределенность энергии; t – время жизни атома в возбужденном энергетическом состоянии.

    ∆ ε = ћ /2∆ t.

    Подставим ∆ ε в искомую величину, получим:

    .

    Подставим числовые значения и находим

    .

     

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.