Задача 1. Плоская волна распространяется в упругой среде со скоростью 100 м/с

Плоская волна распространяется в упругой среде со скоростью 100 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1м. Определить период колебаний и частоту.

Дано: = 1м = 100м/с	Решение: Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны, колеблются с разностью фаз, равной 2p. Точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии, колеблются с разностью фаз, равной
Т =?

(1)

Решая это равенство относительно l, получаем

(2)

По условию задачи Dj = p. Подставляя значения величин, входящих в выражение (2), получим:

м.

Скорость распространения волны связана с l и Т отношением

, (3)

где – частота колебаний.

Из выражения (3) получаем .

Произведем вычисления:

= (100 / 2) = 50 Гц, Т = 1/50 с = 0, 02 с.

5.2.6. Интерференция света

1) Скорость света в среде

,

где с – скорость света в вакууме; n – показатель преломления среды.

2) Оптическая длина пути световой волны

L = nl,

где l – геометрическая длина пути световой волны в среде с показателем преломления n.

3) Оптическая разность хода двух световых волн

= L ₁ – L ₂.

4) Связь разности фаз колебаний с оптической разностью хода

,

где l – длина световой волны в вакууме.

5) Условие максимального усиления света при интерференции

= , к = 0, 1, 2…

Условие максимального ослабления света при интерференции

.

6) Оптическая разность хода световых волн, возникающая при отражении монохроматического света от тонкой пленки:

- = ,

где d – толщина пленки; n – показатель преломления пленки; i ₁ – угол падения; i ₂ – угол преломления света в пленке.

Разность хода – l/2 возникает при отражении света от оптически более плотной среды.

7) Радиус светлых колец Ньютона в отраженном свете

r , к = 1, 2, 3…,

где к – номер кольца; R – радиус кривизны; n – показатель преломления среды, находящейся между линзой и стеклянной пластинкой.

Радиус темных колец Ньютона в отраженном свете

r , к = 0, 1, 2…

Примеры решения задач

Расстояние между двумя когерентными источниками равно 0, 9 мм. Источники, испускающие монохроматический свет с длиной волны 640 нм, расположены на расстоянии 3, 5 м от экрана. Определить число светлых полос, которые наблюдаются на 1 см длины экрана.

Дано: λ = 640 нм = 10-8 м d = 0, 9 мм = 10-4 м L = 3, 5 м	Решение: В точке О на экране (рис. 2) будет максимальная освещенность: точка О равноудалена от обоих источников SI и SII, поэтому разность хода волн SIО и SIIО равна нулю. В произвольной точке экрана Ок максимум освещенности будет наблюдаться, если оптическая разность хода когерентных волн равна целому числу длин волн:
?

D = S ₂ – S ₁ = к l, (1)

где S ₂, S ₁ – оптические пути интерферирующих волн; l – длина волны падающего света; к – номер светлой полосы (центральная светлая полоса принята за нулевую). Оптическая разность хода волн D = xd/L, где x – расстояние от центральной светлой полосы до к -й светлой полосы.

 

О_к

 

S₁

S^I О₁ O₁

 

О

d S₂

 

 

S^II O₂

L

Рис. 10

 

Учитывая выражение (1), получим:

. (2)

Из выражения (2) определяем искомую величину – число светлых интерференционных полос на 1 см длины:

.

Подставим в это выражение числовые значения и получим:

= 400 м^-1 ,

откуда на 1 см равно 4.

Задача 2

Для устранения отражения света от поверхности линзы на нее наносится тонкая пленка вещества с показателем преломления(n = 1, 26), меньшим, чем у стекла (просветление оптики). При какой наименьшей толщине пленки отражение света с длиной волны 0, 55 мкм не будет наблюдаться, если угол падения лучей 30^о?

Дано: n = 1, 26 λ = 0, 55 мкм =5, 5∙ 10-7 м i 1 = 30о	Решение: Рис. 3
?

Оптическая разность хода лучей, отраженных от верхней и нижней поверхностей пленки (рис. 3), равна

D = 2 d , (1)

где d – толщина пленки; n – показатель преломления пленки; i ₁ – угол падения лучей.

В выражении (1) учтено, что отражение лучей на верхней и нижней поверхностях пленки происходит от оптически более плотной среды и поэтому потери полуволны в обоих случаях компенсируют друг друга.

Условие интерференционного минимума

. (2)

Из (1) и (2) находим

. (3)

Полагая к = 0, 1, 2, 3...., получим ряд возможных значений толщины пленки. Минимальная толщина пленки будет при к = 0.

Подставим в расчетную формулу (3) числовые значения входящих величин: n = 1, 26; l = 0, 55 мкм = 5, 5 ^{-7 м;} i₁ = 30^о; к = 0.

Произведем вычисления:

мкм.

5.2.7. Дифракция света

1) Радиус к -й зоны Френеля:

- для сферической волны

r ,

где a – расстояние между диафрагмой с круглым отверстием и точечным источником света; b – расстояние между диафрагмой и экраном, на котором ведется наблюдение дифракционной картины; к – номер зоны Френеля; l – длина волны.

- для плоской волны

r .

2) Дифракция света на одной щели при нормальном падении света (дифракция Фраунгофера).

Угол j отклонения лучей, соответствующих минимуму интенсивности света, определяется из условия

a sin , к = 0, 1, 2 …,

где a – ширина щели; к – порядковый номер минимума; l – длина волны.

Угол j отклонения лучей, соответствующий максимуму интенсивности света, определяется из условия

a sin , к = 0, 1, 2 …,

где j – приближенное значение угла дифракции.

3) Дифракция света на дифракционной решетке при нормальном падении лучей.

Условие главных максимумов интенсивности

d sin , к = 0, 1, 2 …,

где d – период (постоянная решетки); к – номер главного дифракционного максимума в случае монохроматического света или порядок спектра в случае белого света; j – угол отклонения лучей, соответствующий максимуму интенсивности.

4) Разрешающая способность дифракционной решетки

R = = к N,

где Dl – наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий (l и l + Dl), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки; N – число щелей решетки.

5) Формула Вульфа-Брэггов

2 d sin ,

где q – угол скольжения (угол между направлением параллельного пучка рентгеновского излучения, падающего на кристалл, и атомной плоскостью в кристалле); d – расстояние между атомными плоскостями кристалла.

Примеры решения задач

Задача 1

На дифракционную решетку длиной 10 мм, имеющую 400 штрихов на 1 мм, падает нормально свет от разрядной трубки. Помещенная вблизи решетки линза проецирует дифракционную картину (рис. 4) на плоский экран Э, удаленный от линзы на расстояние 1м. Определить: 1) ширину спектра первого порядка, если границы видимого спектра составляют 780 нм (красный край спектра) и 400 нм (фиолетовый край спектра); 2) число спектральных линий красного цвета, которые теоретически можно наблюдать с помощью данной дифракционной решетки; 3) в спектре какого порядка эта решетка может разрешить две линии с длиной волны, равной 500 нм и 500, 1 нм?

Дано: l 0 = 10 мм = 10-2 м n = 400 мм-1= 105 м-1 L = 1 м кр = 780 нм = 10-7 м ф = 400 нм = 10-7 м 1 = 500 нм = 10-7 м 2 = 500, 1 нм = 10-7 м	Решение: Угол j отклонения лучей, соответствующий максимуму фиолетового цвета при дифракции света на решетке, определяется из условия d sin 1 = к (к = 1), (1) следовательно, sin = (2)
l 1 =? к кр =? к =?

Аналогично для дифракционного максимума красного цвета получим:

sin = . (3)

Из рис. 4 следует, что расстояние от центра дифракционной картины до фиолетовой спектральной линии равно

l ₁ = L tg , (4)

соответственно для красной спектральной линии

l ₂ = L tg . (5)

l₀

линза

L

Э

l₁

l₂

Рис. 4

Ширина спектра первого порядка будет Δ l = l ₂ – l ₁ или с учетом формул (4) и (5)

Δ l = L (tg –tg ). (6)

В случае малых углов , что имеет место для спектра первого порядка

tg sin .

Поэтому, подставив выражения (2) и (3) в формулу (6), получим:

(7)

Зная число штрихов n на 1 мм решетки, найдем период решетки:

d = . (8)

Подставляя (8) в формулу (7), получим:

. (9)

Произведем вычисления

м = 15, 2 см.

Для определений числа спектральных линий красного цвета найдем максимальное значение к_mах, исходя из того, что максимальный угол отклонения лучей не может превышать 90° (sin 90° = 1). Из формулы (1) напишем:

к = ,

следовательно, к_max . С учетом (8) получим:

.

Так как число к_mах должно быть обязательно целым, то к_mах = 3. Влево и вправо от центра картины будет наблюдаться одинаковое число спектральных линий, равное 2 к_mах. Таким образом, общее число спектральных линий равно 2 к_mах = 6.

Так как разрешающая способность дифракционной решетки

R = = кN, (10)

то минимальная разница длин волн двух спектральных линий, разрешаемых решеткой,

. (11)

Две спектральные линии разрешены, если

. (12)

Полагая l = l₁, получаем

. (13)

Из выражения (13) следует, что спектральные линии разрешены в спектрах с порядком

. (14)

Число щелей решетки определяется выражением , или с учетом формулы (8)

N = n. (15)

Задача 1

Во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света при про­хождении через две призмы Николя, угол между плоскостями поляризации которых равен 60^o. Потери света в каждой призме составляют 10 % (рис. 5).

A I ₁

I ₀ I ₂

N ₁ N ₂

Рис. 5

Дано: = 60о к = 0, 1	Решение: В результате двойного лучепреломления естественный луч света, попадая на первую призму Николя (поляризатор), раздваивается на обыкновенный “о” и необыкновенный “е” лучи. Оба луча поляризованы вовзаимноперпендикулярных плоскостях.
=?

Обыкновенный луч, подчиняясь закону преломления, преломляется и, подойдя к слою канадского бальзама в призме (граница АВ), испытывает полное отражение и поглощается зачерненной боковой гранью призмы. Необыкновенный луч проходит через призму. Таким образом, на выходе поляризатора получается плоскополяризованный свет, интенсивность которого с учетом потерь на отражение и поглощение света поляризатором равна

, (1)

где I ₀ – интенсивность естественного света, падающего на поляризатор; к – коэффициент, учитывающий потери на отражение и поглощение.

Плоскополяризованный луч света, падая на вторую призму Николя (анализатор), также расщепляется на обыкновенный и необыкновенный лучи. Обыкновенный луч полностью поглощается призмой. Необыкно­венный луч проходит через призму. После прохождения анализатора ин­тен­сивность света уменьшается как за счет отражения и поглощения света анализатором, так и из-за несовпадения плоскости поляризации света с плос­костью пропускания анализатора. В соответствии с законом Малюса и с учетом потерь на отражение и преломление света интенсивность равна

, (2)

где a – угол между плоскостями поляризации поляризатора и анализатора. Подставляя выражение (1) в (2), имеем

. (3)

Относительное уменьшение интенсивности света при прохождении света через 2 призмы Николя равно

. (4)

Подставив в расчетную формулу (4) значение к = 0, 1; α = 60^о, получим: = 9, 88.

 

Задачи

«Практическая работа № 4»

1. Определить максимальное ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой 15 см, если её наибольшая скорость равна 30 см/с. Написать уравнение колебаний, если начальная фаза равна 60^о.

2. Материальная точка массой 20 г совершает колебания, уравнение которых имеет вид x = 0, 3cos(), где смещение х – в метрах. Определить максимальные значения скорости и ускорения точки, полную механическую энергию точки и силу, действующую на точку в момент времени 2 с.

3. Определить период затухающих колебаний, если период собственных колебаний системы равен 1с и логарифмический декремент затухания равен 0, 628.

4. Катушка с индуктивностью 30 мГн и резистор включены последовательно в цепь переменного тока с действующим значением напряжения 220 В и частотой 50 Гц. Найти сопротивление резистора и действующее значение напряжения на нем, если сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения .

5. В цепь переменного тока с действующим значением напряжения 220 В и частотой 50 Гц включены последовательно конденсатор электроемкостью 1 мкФ и реостат с активным сопротивлением 300 Ом. Найти полное сопротивление цепи и действующее значение силы тока.

6. Переменное напряжение, действующее значение которого 220 В, а частота 50 Гц, подано на катушку без сердечника индуктивностью 31, 8 мГн и активным сопротивлением 10 Ом. Найти количество теплоты, выделяющейся в катушке за одну секунду.

7. Сила тока в колебательном контуре изменяется со временем по закону I = 0, 02sin400 t (A). Индуктивность контура 0, 5 Гн. Найти период собственных колебаний в контуре, электроемкость контура, максимальную энергию электрического и магнитного полей.

8. Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности. Определить частоту колебаний, возникающих в контуре, если максимальная сила тока в катушке индуктивности 1, 2 А, максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора 1200 В, полная энергия контура 1, 1 мДж.

9.Два одинаково направленных гармонических колебания с одина­ковой частотой и амплитудами 3 см и 5 см складываются в одно колеба­ние с амплитудой 7 см. Найти разность фаз складываемых колебаний.

10. Входной контур радиоприемника состоит из катушки индуктивностью 2 мГн и плоского конденсатора с площадью пластин 10 см² и расстоянием между ними 2 мм. Пространство между пластинами заполнено слюдой с диэлектрической проницаемостью 7. На какую длину волны настроен радиоприемник?

11. Расстояние от щелей до экрана в опыте Юнга равно 1 м. Определить расстояние между щелями, если на отрезке длиной 1 см укладывается 10 темных интерференционных полос. Длина волны монохроматического света равна 0, 7 мкм.

12. Точечный источник света с длиной волны 0, 5 мкм расположен на расстоянии 1 м перед диафрагмой с круглым отверстием радиусом 1 мм. Найти расстояние от диафрагмы до точки наблюдения, находящейся на оси отверстия, для которой число зон Френеля в отверстии равно 3. Темное или светлое пятно получится в центре дифракционной картины, если в месте наблюдения поместить экран?

13. На дифракционную решетку, содержащую 250 штрихов на 1 мм, падает нормально свет с длиной волны 0, 6 мкм. Найти общее число дифракционных максимумов, которые дает эта решетка. Определить угол, под которым наблюдается последний дифракционный максимум.

14. Раствор сахара с концентрацией, равной 200 кг/м³, налитый в стеклянную трубку, поворачивает плоскость поляризации света, проходящего через раствор, на угол 45°. Другой раствор, налитый в такую же трубку, поворачивает плоскость поляризации на угол 30°. Определить концентрацию этого раствора.

 

⇐ Предыдущая35363738394041424344Следующая ⇒