Окремі випадки перетину поверхонь другого порядку

Відомо, що дві поверхні другого порядку перетинаються по просторовій кривій четвертого порядку. Але при деяких умовах ця крива може розпадатися на кілька ліній більш низького порядку. Особливо цікавим є випадок, коли вона розпадається на дві плоскі криві другого порядку. З’ясуємо умови, коли це стає можливим.

Рис. 9.31.

Теорема про подвійне доторкання. Якщо дві поверхні мають в якійсь їх спільній точці одну дотичну площину, то вони торкаються одна одної в цій точці. Коли ж дві поверхні, що перетинаються, мають дві точки, в яких вони торкаються одна одної, то кажуть, що такі поверхні мають подвійне доторкання.

Лінія перетину поверхонь другого порядку, які мають подвійне доторкання, розпадається на дві плоскі криві другого порядку, площини яких проходять крізь пряму, яка з’єднує точки доторкання (рис. 9.31, рис. 9.32).

б) теорема Монжа

Якщо дві поверхні другого порядку описані навколо третьої поверхні другого порядку або вписані в неї, то лінія їх перетину розпадається на дві плоскі криві другого порядку,

Рис. 9.32.

площини яких проходять через пряму, що з’єднує точки перетину цих ліній. Це положення відомо, як теорема Монжа і є слідством положення про подвійне доторкання. Практичне використання теореми доцільно в тому разі, коли дві поверхні обертання можуть бути описані навколо сфери, або вписані в неї.

На рис. 9.32 показана побудова лінії перетину циліндра та конуса, у яких осі перетинаються.

Лінії, що з’єднують точки 1, 2 і 3, 4, будуть проекціями ліній перетину (еліпсами) конуса та циліндра.

Розгортки поверхонь та їх властивості (на самостійне вивчення)

Розгорткою поверхні називається плоска фігура, яка одержана суміщенням даної поверхні з площиною без утворення складок та розривів. Можна також сказати, що розгортка поверхні – це однозначне перетворення її в плоску фігуру, при якому зберігаються довжина відрізків, що належать поверхні, кутів між ними, а також величин площ, обмежених замкнутими лініями. З цього можна сформулювати основні властивості розгорток:

1. Довжини ліній, що належать поверхні, залишаються незмінними на розгортці.

2. Кути між двома лініями на поверхні зберігають свою величину при розгортання цієї поверхні.

3. Паралельність прямих на поверхні зберігається на її розгортці.

4. Площа поверхні і площа розгортки рівні між собою.

Неважко помітити, що вказані властивості випливають із тієї властивості розгортки, згідно з якою вона не розтягається і не стискується.

Не всі поверхні можна точно розгорнути на площину. Тому вони діляться на розгортні та не розгортні. Необхідною умовою розгортання поверхні є її належність до класу лінійчатих, а достатнім можна вважати характер дотику площини: якщо площина дотична до поверхні по твірній, а не в точці, то поверхня розгортна.

9.9.1. Деякі способи побудови розгорток поверхонь

а) спосіб тріангуляції

Суть цього способу полягає в апроксимації кривої поверхні поверхнею з трикутними гранями та побудови розгортки цієї гранної поверхні.

Тому, насамперед, (як основу способу) розглянемо побудову розгортки многогранника з трикутними гранями – піраміди SАВС (рис. 9.33). Розгортка складається з трикутників (граней), для побудови яких необхідно визначити дійсні величини їх сторін. Основа піраміди (трикутник АВС) лежить у площині проекцій П₁ і її горизонтальна проекція А₁В₁С₁ є дійсною величиною.

У випадку довільного розташування основи необхідно визначити її дійсну величину одним із методів, розглянутих в попередніх розділах підручника. Довжини ребер SА, SВ, SС визначаємо способом прямокутного трикутника, у якого один катет – це горизонтальні проекції S₁А₁, S₁В₁, S₁С₁ ребер піраміди, а другий – це Δ Z (рис. 9.33). Довжини гіпотенуз SА, SВ, SС є дійсними величинами ребер піраміди. Тепер, знаючи довжини трьох сторін, будуємо дійсні величини граней, з яких і складається розгортка. Для нанесення ліній перетину бічної

Рис. 9.33.

поверхні піраміди з площиною Σ на розгортку спочатку знаходимо фронтальні проекції 1₂, 2₂, 3₂, точок перетину бічних ребер піраміди з цією площиною. Далі проводимо горизонтальні лінії зв’язку і одержуємо ці точки на дійсних величинах бічних ребер (рис. 9.33). Переносимо побудовані точки на розгортку і одержуємо на ній шукану лінію.

б) спосіб нормального перерізу

Цей спосіб доцільно використовувати для побудови розгорток призматичних та циліндричних поверхонь. Завжди можна провести деяку площину Σ, яка буде перпендикулярна до ребер або твірних цих поверхонь. Така площина називається нормальною, а її переріз поверхні – нормальним перерізом. Щоб одержати розгортку, нормальний переріз розгортають у відрізок і на перпендикулярах до нього відкладають дійсну величину ребер поверхні. На рис. 9.34 цим способом побудовано розгортку похилої призми, ребра якої паралельні фронтальній площині проекцій. У випадку довільного розташування ребер їх необхідно перевести (наприклад, способом заміни площин проекцій) у положення рівня до нової площини проекцій.

Рис. 9.34.

Отже площина Σ (Σ ₂) перпендикулярна до бічних ребер призми і є у цьому випадку фронтально-проецюючою (рис. 9.34). Вона перетинає задану поверхню по чотирикутнику, його фронтальна проекція G₂Е₂N₂L₂ знаходиться на сліді Σ ₂. Дійсну величину перерізу G'₁Е'₁N'₁L'₁ знайдено суміщенням площини Σ з площиною проекції П₁ (горизонтальний слід площини на рисунку не показаний). Далі ламану лінію дійсної величини перерізу розгорнуто в пряму лінію GG (рис. 9.35). На цій лінії відмічені точки N, L, Е, які належать вершинам перерізу. Через точки G, N, L, Е проведені перпендикуляри до прямої GG і на них відкладені дійсні величини відповідних ребер призми. Оскільки ребра призми паралельні площині проекцій П₂, то в цьому випадку їх дійсна величина взята безпосередньо з їх фронтальних проекцій. Для одержання повної розгортки призми необхідно до розгортки її бічної поверхні додати дві основи АВСD і А'B'C'D', горизонтальні проекції яких є дійсні величини.