Апарат аксонометричного проецюювання

Розглянемо більш детально побудову аксонометричних проекцій на прикладі однієї точки (рис. 10.1). Задамо в просторі довільну точку А і віднесену до неї натуральну ортогональну систему координат Оxyz. Вибираємо також яку-небудь площину проекцій П' і напрям проеціювання s. Спроецюємо ортогонально точку на одну з координатних площин, наприклад, на площину Оxу, що дасть нам горизонтальну А₁ і осьову Ах проекції точки А. Отримані три відрізки – ОАх, АхА₁ і А₁А паралельні відповідним координатним осям, визначають три координати точки А і називаються координатною ламаною цієї точки. Далі відкладемо на координатних осях від точки О три рівні відрізки e, які називаються натуральним масштабом.

Спроецюємо отриману конфігурацію, що складається з прямих, відрізків і точок, на площину П' по напряму проеціювання s, як показано на рис. 10.1. Отримане зображення включає:

1. О' – аксонометричний початок координат;

2. О'x'y'z' – аксонометричну систему координат;

3. А'x – вторинну осьову проекцію точки А;

4. А'₁ – вторинну горизонтальну проекцію точки А;

5. А' – аксонометричну проекцію точки А;

6. eх_, ey, ez - аксонометричні масштаби по осях x'y'z';

7. О'А'x, А'xА'₁, А'₁А' – аксонометричну координатну ламану точки А.

Рис. 10.1.

10.1.1. Основна теорема аксонометрії – теорема Польке

Рис. 10.2.

Повертаючись до рисунка 10.1, можна помітити, що якщо міняти в просторі положення натуральної системи координат Оxyz і напрям проеціювання s по відношенню до площини аксонометричної проекції П', то будуть змінюватися положення аксонометричних осей x', y', z', кути між ними, а також величини аксонометричних масштабів. Виникає питання, який можливий ступінь цих змін, або з яким ступенем довільності можуть бути задані на кресленні аксонометричні осі і аксонометричні масштаби.

Вичерпна відповідь на це питання дає основна теорема аксонометрії – теорема Польке, суть якої полягає в наступному: три прямі, що виходять з однієї точки на площині можуть бути прийняті за аксонометричні осі, а три відрізки довільної довжини, які розташовані на цих осях – за аксонометричні масштаби. Інакше кажучи, аксонометричні осі і аксонометричні масштаби можуть бути задані абсолютно довільно (рис. 10.2).

З цього виходить, що завжди знайдеться такий напрям проеціювання і таке положення прямокутної системи координат в просторі, а також певна величина натурального масштабу, які будуть відповідати довільно вибраній аксонометричній системі на площині.

10.1.2. Коефіціенти спотворення в аксонометрії

Оскільки при паралельному проеціюванні зберігається паралельність прямих, то аксонометричні відрізки координатної ламаної О'А'xА'₁А' будуть паралельні відповідним координатним осям і являють собою в загальному випадку аксонометричні косокутні координати точки А' (рис. 10.1). Таким чином, надається можливість побудови аксонометричних проекцій точок по їх аксонометричних координатах.

Для визначення аксонометричних координат точок зручно використовувати співвідношення між аксонометричними і натуральним масштабами. Такі співвідношення називаються коефіцієнтами (показниками) спотворення по осях. Оскільки натуральні координатні осі x, у, z в загальному випадку мають різні кути нахилу до площини проекцій П', а напрям аксонометричного проеціювання також може бути різним, то аксонометричні масштаби будуть різними і будуть відрізнятися від натурального. Таким чином, ми матимемо три коефіцієнти спотворення по осях: u – по осі x', v – по осі y' і w – по осі z'.

10.2. Класифікація аксонометричних проекцій та стандартні аксонометричні системи

Залежно від напряму проеціювання аксонометричні проекції розділяються на дві групи:

1. якщо напрям проеціювання s не перпендикулярний до аксонометричної площини проекцій П', то аксонометрія називається косокутною;

2. якщо напрям проектування s перпендикулярний П', то аксонометрія називається ортогональною або прямокутною.

По співвідношенню коефіцієнтів спотворень розрізняють три види аксонометричних проекцій:

1. якщо три коефіцієнти спотворення по осях рівні між собою (u=v=w), то аксонометричне зображення називається ізометрією;

2. якщо два коефіцієнти спотворення по осях рівні і відрізняються від третього, наприклад, u=v≠ w, то аксонометрична проекція називається диметріей;

3. якщо всі три коефіцієнти спотворення по осях різні u≠ v≠ w, то аксонометрична проекція називається триметріей.

Окрім цього, аксонометричні проекції можуть бути точними і подібно перетвореними – збільшеними або зменшеними.

Прямокутна ізометрія

В даній системі аксонометричні осі x', y', z' утворюють між собою рівні кути, тобто 120° (рис. 10.3). Трикутник слідів А'В'С' у прямокутній ізометрії рівносторонній. Дійсні коефіцієнти по всіх осях також рівні. З рис.10.3 слідує:

3u²= 2 або .

Рис. 10.3.

На практиці користуються приведеними коефіцієнтами спотворення u', v', w', рівними одиниці, що позбавляє при виконанні ізометричних зображень предметів проводити численні математичні обчислення. При цьому графічні побудови істотно спрощуються, проте самі проекції стають приведеними, тобто збільшеними. Масштаб збільшення дорівнює відношенню приведених коефіцієнтів спотворення до їх дійсного значення, отже:

u'=v'=w =1, М =1: 0, 82=1, 22: 1.

 

Прямокутна диметрія

Рис. 10.4.

Трикутник слідів А'В'С' в прямокутній диметрії – рівнобедрений. Сторона А'В' дорівнює стороні В'С' (рис. 10.4).

Побудова окремих точок геометричних фігур в диметрії аналогічно побудовам точок в ізометрії з тією лише різницею, що координати Y кожної точки необхідно зменшувати в два рази.

Косокутна диметрія (ізометрія)

Серед множини косокутних аксонометричних проекцій стандартом передбачаються тільки такі, для яких одна з координатних площин натуральної системи Оxyz паралельна аксонометричній площині проекції П'. При цьому кут між двома якимись аксонометричними осями буде прямим, а дійсні коефіцієнти спотворення по цих осях дорівнюють одиниці.

Рис. 10.5.

(рис.10.5). Будь-яка плоска фігура, паралельна такій координатній площині, зображуватиметься в аксонометрії у натуральну величину.