Примеры решения типовых задач. 1. Из бюретки на 25 мл с ценой деления 0,1 мл отмерили ровно восемь миллилитров раствора

1. Из бюретки на 25 мл с ценой деления 0, 1 мл отмерили ровно восемь миллилитров раствора. Как правильно записать отмеренный объем: 8 мл; 8, 0 мл; 8, 00 мл? Как записать тот же объем, если для отмеривания раствора использовали цилиндр с ценой деления 1 мл?

Решение. Запись 8, 00 мл, указывающая на абсолютную погрешность порядка 0, 01 мл, совершенно неправильна. Так как цена деления бюретки равна 0, 1 мл, абсолютная погрешность не может быть меньше. Если считать, что абсолютная погрешность соответствует цене деления, то правильный ответ при измерении объема бюреткой - 8, 0 мл. При записи результата как «8 мл» мы, скорее всего, зря потеряем точность измерения, подобное округление не рекомендуется. А вот при измерении того же объема цилиндром эта запись будет совершенно верной.

2. С помощью той же бюретки, что и в предыдущем примере, ведут титрование, надеясь определить концентрацию некоторого вещества с относительной погрешностью в 0, 01 %. Возможно ли это?

Решение. Будем считать, что абсолютная погрешность соответствует цене деления бюретки - 0, 1 мл. Если будет израсходован весь объем бюретки (25, 0 мл), то относительная погрешность окажется равной 0, 4%; измерить же объем раствора точнее, т.е. с относительной погрешностью 0, 1% (а тем более 0, 01%!) при использовании данной бюретки нельзя. Нам не удастся снизить относительную погрешность до требуемой величины и в том случае, если мы будем с помощью этой бюретки отмерять объемы, большие 25 мл, поскольку повторное заполнение бюретки приведет к соответствующему увеличению абсолютной погрешности.

Поскольку нельзя измерить с требуемой точностью объем титранта, не удастся добиться и желаемой точности определения концентрации. Дело в том, что концентрацию находят, умножая объем титранта на другие величины, а при умножении величин относительные погрешности складываются; т.е. относительная погрешность произведения не может быть меньше погрешности сомножителя.

3. Расставьте несколько величин в порядке возрастания точности их измерения: 0, 002 м³; 92⁰; 2100; 8100г; 2, 10 мл; 2100, 0; 2, 0·10⁵ мин.

Решение. Поскольку величины имеют разную размерность, а некоторые из них безразмерны, то мы можем сравнивать их только по относительной погрешности, считая, что все величины записаны правильно. Вместо расчета относительной погрешности можно просто подсчитать число значащих цифр. Для большей наглядности составим таблицу.

Следовательно, ряд должен быть составлен так: 0, 002 м³; 2, 0·10⁵ мин; 92⁰; 2, 10 мл; 2100; 8100 г; 2100, 0.

4. Масса анализируемого вещества определена на технических весах, она равна 25, 6 г, а затем отобрали и взвесили на аналитических весах часть этой пробы: 0, 2665 г. Вычислить оставшуюся массу пробы.

Решение. С точки зрения арифметики результат вычисления равен 25, 3335 г. В этом случае получится, что точность наших знаний о массе пробы резко повысилась за счет арифметической операции, а это невозможно. Правильный результат - 25, 3 г - получается путем округления. Тот же результат получится, если от 25, 6 г отнять заранее округленную до десятых долей грамма массу отобранной части пробы, т.е. 0, 3 г. В результате вычитания десятичных знаков столько же, сколько их в исходных данных, т.е. примерно та же абсолютная погрешность.

5. Масса тигля до прокаливания - 20, 6473 г, после - 20, 6420 г. Какова масса потерь при прокаливании, с какой относительной погрешностью она определена?

Решение. Масса потерь равна 20, 6473 г - 20, 6420 г = 0, 0053 г, т.е. 5, 3 мг. Относительная погрешность результата - около 2%, она гораздо больше, чем у исходных масс, хотя абсолютная погрешность примерно та же - 0, 0001 г. Обратите внимание на этот пример: при сложении и вычитании число значащих цифр в результате может уменьшаться (или увеличиваться) по сравнению с исходными данными.

6. Масса жидкости 28, 34 г, ее объем- 8, 4 мл. Рассчитать плотность.

Решение. Для того чтобы найти плотность, надо разделить массу на объем. В результате деления надо оставить только две значащих цифры, как и в менее точном измерении объема. Отсюда 28, 34 г: 8, 4 мл = 3, 4 г/мл. Нельзя просто переписывать результат, полученный на шкале микрокалькулятора, округление до необходимого количества значащих цифр обязательно!

7. Концентрация ионов водорода в растворе равна 2 М. Чему равен рН этого раствора (без учета коэффициентов активности)?

Решение. Так как рН =- lg[H⁺], а [Н⁺]=2, то следует взять логарифм этого числа. По микрокалькулятору он равен 0, 30102999, по четырехзначным таблицам - 0, 3010, по логарифмической линейке - 0, 30. С учетом вышеизложенного правила lg2 надо округлить до одной значащей цифры, следовательно, рН = -0, 3.

8. В справочнике указано значение константы ионизации (кислотной константы) синильной кислоты 5, 0· 10^-10, чему равен ее показатель?

Решение. По калькулятору логарифм вышеуказанного числа равен -9, 3010299; следовательно, показатель равен 9, 3010299. Округляем, оставляя две цифры в мантиссе (после запятой): рК = 9, 30.

Пользуясь четырехзначными таблицами логарифмов, можно найти показатель несколько иначе: рК = m - lg n = 10 - lg 5, 0 (10 - 0, 70 = 9, 30. В последнем действии число 10 известно совершенно точно, число значащих цифр или десятичных знаков в подобных величинах вообще не учитывают!

Независимо от способа логарифмирования, в показателе константы после запятой (в мантиссе) оставляют столько значащих цифр, сколько их было в самой константе. Не следует считать, что рК_а синильной кислоты составляет 9, 3; отбрасывать ноль во втором знаке после запятой было бы грубой потерей точности.

9. Оцените погрешность, с которой в справочнике [8] указано значение константы устойчивости комплексного соединения бария с 8-оксихинолином.

Решение. В справочнике дана не константа, а ее логарифм, равный 2, 07. Так как в мантиссе логарифма имелось две значащих цифры, столько же их будет в самой константе. Это соответствует диапазону относительной погрешности от 1 до 10 %.

Можно провести и более точный расчет. По калькулятору сама константа (антилогарифм) равна 117, 48976. Но так как в мантиссе логарифма имелось две значащих цифры, значение константы также округляем до двух значащих цифр, тогда К = 1, 2· 10². Относительная погрешность этой величины равна единице последнего разряда, деленной на само число (0, 1/1, 2), что составляет около 8 %.

Контрольные вопросы

1. Что такое абсолютная погрешность, относительная погрешность, в каких единицах они выражаются? Какие цифры называют значащими и как подсчитать их количество в некотором записанном числе - результате измерения?

2. С какой абсолютной и относительной погрешностью вы проводите обычно измерение объема раствора: а) с помощью мерной колбы на 200 мл; б) пипеткой на 5 мл, в) цилиндром на 1 литр? Насколько точно измерение массы анализируемой пробы на аналитических и на технических весах?

3. С какой относительной погрешностью вы знаете массу своего тела и свой рост? Какими факторами, по вашему мнению, определяется абсолютная погрешность этих данных: ценой деления измерительного прибора, его систематической погрешностью, случайными погрешностями в процессе измерения, изменением во времени самих измеряемых величин?

4. Обычно чем больше исходных данных приходится учитывать аналитику при расчете результата анализа, тем при прочих равных условиях хуже точность анализа. Почему?

5. C какой относительной погрешностью, судя по числу значащих цифр, известны молярные массы веществ? Учитывать ли их погрешность при расчете результатов анализа?

6. Сформулируйте известные вам по школьному курсу математики правила округления.

7. Запишите результат деления 1 на 300 с разной точностью – с одной, двумя и т.д. (до шести) значащими цифрами. Используйте запись вида m·10^-n.

8. В таблице констант устойчивости комплексных соединений [8, с.328] для комплексов калия и кальция с этидендиаминтетрауксусной кислотой даны значения логарифмов констант, равные соответственно 0, 96 и 10, 59. Какая константа измерена с большей точностью? Ответ обоснуйте.

6.2. РАСЧЕТ ГЕТЕРОГЕННОГО РАВНОВЕСИЯ “ОСАДОК - РАСТВОР”