Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Расчеты колебаний кристаллов






 

Для сложных систем, какими являются кристаллы, расчеты их колебаний обычно ограничиваются рамками адиабатического и гармонического приближений. Существует, тем не менее, два принципиально разных подхода в таких расчетах. Эти подходы отличаются различным описанием поля упругих сил, в котором происходит движение точечных масс. Исторически сложившийся первый подход не предполагает знания аналитического вида потенциальной функции системы V (r), но дает право представить энергию системы квадратичной формой V (r) = 1 / 2 S (d 2 V/dridrj) orirj. Элементы Фij этого разложения, составляющую матрицу силовых постоянных, обыкновенно рассматриваются как независимые подгоночные параметры теории. Кинетическая энергия колеблющейся системы также может быть представлена квадратичной формой типа T= 1 / 2 SMijrirj. Здесь Mij являются функциями масс частиц. Математический смысл решения задачи о нормальных колебаниях системы состоит в преобразовании её колебательного гамильтониана H (q) = 1 / 2 S (Mijqiqjijqiqj)к простой квадратичной форме путем перехода к новым нормальным координатам Qi

Qi=SLklQl и Qi=SLklQl.

 

Как известно, коэффициенты Lkl являются элементами матрицы, для которой выполнено:

 

Ľ TL=E и Ľ FL=diag (l 1, l 2, l 3 N ),

где Ľ – транспонированная матрица L, E – единичная, а diag – диагональная матрица. Колебательный гамильтониан тогда имеет вид

 

H (Q) = 1 / 2 S (Ql 2 +llQl 2) =S H (Q).

 

Таким образом, колебательные движения системы распадаются на совокупность независимых гармонических осцилляторов с частотами w l=1/2pÖ `ll. Диагонализирующую потенциальную и кинетическую энергию матрицу L можно найти путем решения уравнения

 

TLl=FL или T–1FL=Ll

 

Вообще говоря, нужно добавить, что сформулированное решение колебательной задачи может быть применено к блоховским возбуждениям с любым определенным значением волнового вектора k. Это позволяет проводить таким же путем расчеты колебаний кристалла в определенных точках зоны Бриллюэна. Теоретическое вычисление величин собственных частот системы по её известной геометрии и массам атомов при заданных из тех или иных соображений элементов матрицы силовых констант Ф ij принято называть решением прямой колебательной задачи. Обратной колебательной задачей называют проблему определения силовых констант (матрицы F) при известных из спектроскопических и структурных данных матрицы l. В изложенном подходе достигается полное разделение параметров, определяющих решение механической задачи о частотах колебаний, и задачи об интенсивностях линий поглощения (электрооптическая задача). Интенсивность i -го нормального колебания в ИК спектре и КР спектре в гармоническом приближении определяется величинами (¶m/¶Q)o2 и (¶a/¶Q)o2, где m и a

Дипольный момент и поляризуемость системы, а производные взяты в точке равновесия. Такое приближение часто называемое моделью жестких ионов, оказалось не слишком успешным для большинства ионно-ковалентных кристаллов вследствие неучета поляризуемости ионов. Начиная с 60-х годов расчеты развивались по пути использования т.н. «оболочечной» модели, в которой каждый ион представлялся положительно заряженным остовом, с которым упруго связана безинерционная электрически отрицательно заряженная оболочка. Однако, даже такое усложнение модели, приводящее к значительному увеличению её параметров, не обеспечило хорошее соответствие расчетов с экспериментальными данными.

Альтернативный подход к задаче о колебаниях кристаллических решеток основан на явном аналитическом представлении потенциальной энергии системы. Потенциальную функцию взаимодействия атомов в кристалле, как это обсуждалось в главе 1, комбинируют, по крайней мере, из двух модельных функций: притяжения и отталкивания.

Поскольку первые производные от аналитически аппроксимаций функций притяжения и отталкивания не обращается в ноль в положении равновесия (в нуль обращается лишь их производная сумма) важным этапом рассмотрения задачи является исследование условий равновесия кристаллической решетки. В простейшем случае используется функция типа

 

Vполн =Vблизк.+Vдальнод,

 

Здесь первый член интерпретируется как член короткодействующего отталкивания, а второй член – как энергия электростатического взаимодействия между ионами. Параметры Zi и Zj заряды ионов Rij – расстояние между ними, а постоянные A и n параметры потенциала отталкивания. Условия равновесия кристалла требует отсутствия суммарных сил на атомах в положении равновесия

.

 

Кроме того, требуется выполнение условия устойчивости кристаллической решетки относительно однородной механической деформации. При выполнении этих условий вторые производные суммарного потенциала определяют силовые постоянные системы Фij= ( 2 V/¶Q 2)0.Важно, что при таком подходе, когда с самого начала заданы эффективные заряды на ионах, параметры механической задачи (задачи о нахождении частот собственных колебаний) и электрооптической задачи (задачи об интенсивностях линий поглощения) оказываются неразделимыми. Такая концепция также устраняет внутреннюю противоречивость выделения кулоновской части взаимодействия соседних ионной с частично перекрывающимися волновыми функциями, что очень характерно для большинства кристаллов с ионно-ковалентными решетками.

Таким образом, альтернативный подход расчета колебаний кристалла позволяет проводить совместное рассмотрение равновесного строения, собственных частот и интенсивностей колебательного спектра и макроскопического вычисления упругих констант кристалла с помощью единой совокупности параметров.

Пример расчета дисперсионных ветвей для кристалла кремния в различных направлениях волнового вектора приведен на рис. 33.

 

 

 

Рис.33. Дисперсионные кривые для кристалла кремния, соответствующие направлениям [100] и [111]. Поскольку в решетке кремния в элементарной ячейке находятся два атома Si, существует акустическая и оптическая ветви. Они не являются трансляционно-эквивалентными (конгруэнтными), однако имеют одинаковую массу, и поэтому частоты продольных LА и LO колебаний в акустических и оптических ветвях на границе зоны Бриллюэна в точке X (100) вырождены, т.е. имеют почти одинаковую частоту wак=Ö b/m 1 » wопт=Ö b/m 2(рис. 23).

 

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.