Оценка параметров прогнозной модели методом наименьших квадратов

Сущность метода наименьших квадратов (МНК) состоит в отыскании параметров модели тренда, минимизирующих ее отклонение от точек исходного временного ряда, то есть

, (1.1)

где – расчетные значения исходного ряда;

– фактические значения исходного ряда;

– число наблюдений.

Если модель тренда представить в виде

,

где – независимые переменные;

– параметры модели;

– время,

то, для того, чтобы найти параметры модели, удовлетворяющие условию (1.1), необходимо приравнять к нулю первые производные величины S по каждому из коэффициентов . Решая полученную систему уравнений с k неизвестными, находим значения коэффициентов a.

Использование процедуры оценки, основанной на МНК, предполагает обязательное удовлетворение целого ряда предпосылок, невыполнение которых может привести к значительным ошибкам.

1. Нормальность. Случайные ошибки (значение случайной компоненты) имеют нормальное распределение.

2. Случайные ошибки имеют нулевую среднюю, конечные дисперсию и ковариации.

3. Дисперсии каждой случайной ошибки одинаковы, их величины независимы от значений наблюдаемых переменных.

4. Отсутствие автокорреляции ошибок, то есть значения ошибок, различных наблюдений независимы друг от друга.

5. Значение наблюдаемых переменных свободны от ошибок измерения и имеют конечные средние значение и дисперсии.

В практических исследованиях в качестве модели тренда в основном используют следующие функции: линейную ; квадратичную ; параболу третьей степени ; степенную ; показательную ; экспоненциальную ; модифицированную экспоненциальную ; логистическую .

Особенно широко применяется линейная, или линеаризуемая, то есть сводимая к линейной, форма, как наиболее простая и в достаточной степени удовлетворяющая исходным данным. В этом случае при постановке динамической задачи прогнозирования уравнение регрессии имеет вид

, (1.2)

где – вычисленное значение , соответствующее моменту времени t.

а и b – константы, которые обращают сумму квадратов отклонений фактических значений от вычисленных в минимум.

Используя метод наименьших квадратов, можно составить систему уравнений:

,

решая которую, получим уже систему нормальных уравнений:

(1.3)

Следовательно,

,

где b называют коэффициентом регрессии (не путать с коэффициентом корреляции), он характеризует наклон линии регрессии (тангенс угла наклона);

или

,

где a называют начальным или свободным коэффициентом, он характеризует уровень пересечения линии регрессии с осью ординат y, то есть равен при .

Система нормальных уравнений существенно упрощается, если начало отсчета времени перенести в середину динамического ряда путем преобразования независимой переменной:

,

тогда для линейной модели

и

.

После того, как определены коэффициенты модели (1.2), точечный прогноз для момента времени t_k может быть осуществлен по уравнению регрессии

.

Рассмотренный механизм метода наименьших квадратов позволяет с необходимой точностью аппроксимировать действительное развитие процесса с помощью полиномиального тренда, то есть представить зависимую переменную y как функцию времени в виде многочлена

,

где – параметры;

– время;

– степень полинома.

Оценки параметров получают, исходя из решения системы нормальных уравнений, развернутая запись которых имеет вид (здесь, как и ранее, переменные x_i заменены на характеристики времени t_i; знак S означает суммирование ):

(1.4)

где n – число членов в динамическом ряду.

Система (1.4), состоящая из l уравнений, содержит в качестве известных величин , , …, (то есть суммы наблюдаемых значений уровней динамического ряда, умноженные на показатели времени в степени 0, 1, 2, …, l и l неизвестных величин a_j.

Необходимо отметить, что системы для оценивания параметров полиномов невысоких степеней достаточно просты. Обозначим последовательные параметры полиномов как a, b, c, d. Тогда нормальные уравнения для оценивания квадратичной модели [нормальные уравнения для оценивания прямой см. систему (2.3)]

примут вид

,

для параболы третьей степени получим

.

Поскольку полиномы выше третьей степени при обработке динамических рядов встречаются крайне редко, то нормальные уравнения для них приводить не будем.

Составление нормальных уравнений можно упростить, воспользовавшись тем, что величины , , … не зависят от конкретных значений (уровней) динамического ряда. Если последний состоит из уровней, равноотстоящих друг от друга (а именно с такими рядами чаще всего имеет дело исследователь), то суммы , , … являются функциями только числа членов в динамическом ряду. Для них легко получить расчетные формулы, в частности

.

Во всех приведенных здесь формулах суммирование производится от t=1 до t=n. Значения сумм табулированы для широкого диапазона величин n.

Рассмотрим для примера оценки параметров прямой динамический ряд типовых объектов; соответствующие уровни y_t и произведения y_tt приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Сводная таблица для оценки параметров

,

В соответствии с вышеприведенными формулами

;

.

В соответствии с системой уравнений (2.3) систему нормальных уравнений запишем в виде

2683 = а · 14 + b · 105; 19157= а · 115 + b · 1015.

Решение этой системы дает

;

.

Уравнение регрессии, следовательно, имеет вид

,

а точечный прогноз, например, на 2002 год (t_k=17) будет равен

объектов.

Таким образом, собственно экстраполяция дает точечную прогностическую оценку. Интуитивно ощущается недостаточность такой оценки и необходимость получения интервальной оценки, с тем чтобы прогноз, охватывая некоторый интервал значений прогнозируемой переменной, был бы более надежным или, другими словами, более достоверным и точным.