Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • систем методом пространства состояний






    Использование преобразование Лапласа создает определенные удобства при оперировании со звеньями, описываемыми уравнениями с постоянными коэффициентами. Применяя преобразование Лапласа к уравнениям состояния (1) при нулевых начальных условиях, найдем соответствующие им уравнения в изображениях

    Разрешив последнее выражение относительно вектора состояния и вектора выходных координат, получим искомые алгебраические соотношения:

    Обозначая

    запишем соотношения, устанавливающие зависимость между управляющим воздействием и векторами состояния и выходных координат соответственно:

    (5)

    Матрица , связывающая вектор управления и вектор состояния в пространстве изображений по Лапласу называется передаточной матрицей по состоянию при нулевых начальных условиях.

    Матрица , связывающая вектор управления и вектор выхода называется передаточной матрицей по выходу при нулевых начальных условиях.

    Последние являются матричными функциями, размер матриц которых определен размерностью входных и выходных векторов. Если входное воздействие является векторным, то реакция системы зависит от всех составляющих входного вектора.

    Передаточная матрица по состоянию однозначно определяется уравнением состояния, однако для одной и той же передаточной матрицы могут отвечать несколько различных уравнений состояния.

    Размер передаточных матриц по состоянию и выходу определяется размерностью входных и выходных векторов.

    Пример 1. Определить матричную экспоненту и вынужденное движение системы.

    Дифференциальное уравнение системы имеет вид:

    Перейдём к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Введём обозначения .

    С учетом выражений введённых обозначений можно записать:

    Перейдём к векторно-матричной форме записи:

    , где .

    Определим матричную экспоненту путём разложения в степенной ряд.

    .

    Определим вектор состояния для заданной системы в соответствии с формулой

    .

    Пусть , тогда

    Определим матричный экспоненциал с помощью обратного преобразования Лапласа .

    1. ; ;

    2. ;

    3. .

    Если на вход системы подаётся единичный мгновенный импульс, т.е. , то реакция системы (импульсная переходная функция) определяется выражением:

    .

    Пример 2. Определить переходную матрицу системы по состоянию и по выходу.

    Пусть , где .

    Тогда соответственно

    Передаточная матрица по состоянию .

    Передаточная матрица по выходу .

    Пример 3. Определить переходную и весовую матрицы динамической системы с использованием теоремы Кэли–Гамильтона.

    Дифференциальное уравнение системы имеет вид: .

    Выбирая в качестве переменных состояния координаты положения и скорости

    для матриц , , , получим следующее описание:

    ; ; ;

    Вычислим матричную экспоненту по теореме Кэли–Гамильтона в виде интерполяционного полинома для системы порядка

    Коэффициенты и найдем, решая систему уравнений .

    Корни характеристического уравнения найдем, раскрывая определитель

    .

    Искомые коэффициенты интерполяционного полинома , тогда

    .

    После выполнения вычислений целесообразно проверить, что при матричная экспонента соответствует единичной матрице.

    Выбирая в качестве начальных условий , что соответствует движению с некоторой начальной скоростью, найдем свободное движение системы , что соответствует движению по инерции и торможению.

    Весовая матрица в данном случае вырождается в скалярное выражение и соответствует импульсной переходной функции скалярной системы

    .

    Определим реакции системы по вектору состояния на ступенчатое воздействие , пользуясь матрицей перехода. При нулевых начальных условиях для текущего значения вектора состояния получим

    .

    Интегрируя, найдем значение координат положения и скорости

    .

    Пример 4. Определить матрицу перехода с использованием для системы, рассмотренной в примере 3:

    .

    Вычисляя оригиналы элементов обратной матрицы, найдем матрицу перехода

    ,

    что совпадает с результатом, полученным на основании теорем Кэли–Гамильтона и Сильвестра.

    Найдем реакцию системы на ступенчатое воздействие

    Изображение вектора состояния имеет вид: .

    Переходя к оригиналам: ,

    .

    что совпадает с результатом, полученным выше интегрированием во временной области.

    Пример 5. Рассмотрим уравнение системы «вход–состояние» (См. лабораторная работа № 2):

    Найдем собственные значения матрицы

    .

    Матричный экспоненциал имеет вид

    Пусть . Тогда выражение для вектора состояния системы запишется так:

    Отсюда для компонент вектора состояния имеем

    .

    Пример 9. Определить передаточные функции системы с тремя состояниями, двумя воздействиями и двумя выходами, структурная схема которой показана на рис. 2

    Рис. 2. Структурная схема системы

    Уравнения состояния для структурной схемы системы имеют вид

    .

    Векторы воздействий и выходных координат выбраны в виде

    и .

    Для матриц , , из уравнений состояния получим

    ; ; .

    Передаточная функция системы с двумя входами и двумя выходами имеет вид:

    .

    II. Практическая часть

    Порядок выполнения работы:

    1. Ознакомиться с теоретическим материалом.

    2. Для заданной системы (по данным, полученным в лабораторной работе №2 для варианта лабораторной работы № 1):

    - определить передаточную матрицу по состоянию и по выходу.

    - Определить матрицы ИПФ по состоянию и по выходу.

    3. Уменьшить порядок заданной системы на единицу. Определить для полученной системы второго порядка вектор состояния и его компоненты и , вектор выхода при нулевых начальных условиях и при ненулевых начальных условиях при подаче на вход ступенчатого воздействия .

    4. В пакете MATLAB найти и освоить функции вычисления детерминанта, собственных значений, собственных векторов матрицы , матричной экспоненты, векторов состояния и выхода.






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.