Матричный экспоненциал. При определении связи между входом и выходом системы во временной области при описании их операторно-структурным методом использовался интеграл Дюамеля: при

При определении связи между входом и выходом системы во временной области при описании их операторно-структурным методом использовался интеграл Дюамеля: при нулевых начальных условиях.

Рассмотрим скалярных случай для уравнения первого порядка в форме Коши:

.

После применения преобразования Лапласа получим:

или .

Используя обратное преобразование Лапласа, получим:

.

По аналогии получим решение векторно-матричного уравнения:

или .

Оригинал вектора состояния системы, т.е. решение неоднородного векторно-матричного дифференциального уравнения, в виде

(1)

называется векторно-матричным интегралом Дюамеля по состоянию.

Аналогично рассчитывается векторно-матричный интеграл Дюамеля по выходу:

. (2)

Первое слагаемое в (1) и (2) характеризует свободное движение под действием начальных условий при , а второе — вынужденную составляющую вектора состояния, определяемую управлением.

Для вычисления вектора состояния необходимо определить матричную функцию , которая называется матричным экспоненциалом, экспоненциальной матрицей или матрициантом.(См. лабораторную работу № 2)