Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Линейные преобразования (операторы).






    8.8. Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей. Найти матрицу оператора в базисе из собственных векторов.

    Общие сведения и расчётные формулы: для выполнения задания необходимо знать:

    Если задана матрица линейного преобразования, то можно записать характеристическую матрицу и характеристический многочлен этого преобразования:

    = = =0.

    Решая уравнение: =0, находят характеристических корней этого многочлена:

    = .

    Эти корни являются собственными значениями линейного преобразования , используя которые, можно записать для некоторого вектора :

    = ,

    вектор в этом случае называют собственным вектором преобразования , соответствующим собственному значению .

    Для нахождения собственных векторов линейного преобразования , соответствующих характеристическому корню , необходимо найти ненулевые решения системы линейных уравнений:

    = · =0. (1)

    Если в качестве базиса линейного векторного пространства выбрать все собственные векторы, то матрица линейного преобразования будет иметь в этом базисе самый простой вид, а именно:

    .

    Примеры (и образец оформления):

    Пример1: Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей: = . Найти матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования.

    Решение:

    Схема решения: 1) составляем характеристический многочлен и находим его корни;

    2) составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов;

    3) находим поочередно для каждого собственного значения собственные векторы линейного преобразования.

    4) строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования.

    1). В нашем случае характеристический многочлен имеет вид:

    = = – –(2+ ) = –( +1)3,

    его корни: = –1, кратности 3.

    2). Составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов:

    == (1)

    3). Находим собственные векторы линейного преобразования, используя общую запись системы уравнений в виде (1) для = –1:

    ®

    где x3 свободная неизвестная; пусть x3 = –с, тогда x1 = с, x2 = с, получаем: = с(1, 1, –1).

    4). Строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования: .

    Ответ: собственные значения: = –1, кратности 3; собственные векторы линейного преобразования имеют вид: = с× (1, 1, –1), где с ¹ 0. Матрица преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования: .

    Пример2: Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей: = . Найти матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования.

    Решение:

    Схема решения: 1) составляем характеристический многочлен и находим его корни;

    2) составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов;

    3) находим поочередно для каждого собственного значения собственные векторы линейного преобразования.

    4) строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования.

    1). В нашем случае характеристический многочлен имеет вид:

    = = = –( –2) =

    = ( –2) ( –1) –3(λ –2) = – ( +1)( +2)( –2),

    его корни: = –1, = –2, = 2.

    2). Составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов:

    == (1)

    3). Находим собственные векторы линейного преобразования, используя общую запись системы уравнений в виде (1):

    для = –1: ®

    где свободная неизвестная; пусть = , тогда = , = , получаем: = ·(1, 1, 1).

    для = –2: ®

    где свободная неизвестная; пусть =3 , тогда =2 , =3 , получаем: = ·(2, 3, 3).

    для = 2: ®

    где свободная неизвестная; пусть =7 , тогда =4 , = , получаем: = ·(4, 1, 7).

    4). Строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования: .

    Ответ: собственные значения: = –1, = –2, = 2; собственные векторы линейного преобразования имеют вид: = ·(1, 1, 1), где ¹ 0; = ·(2, 3, 3), где ¹ 0; = ·(4, 1, 7), где ¹ 0. Матрица преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования: .

    Варианты индивидуальных заданий:

    Вар. Задание: Вар. Задание: Вар. Задание:
    1. 2. 3.
    4. 5. 6.
    7. 8. 9.
    10. 11. 12.
    13. 14. 15.
    16. 17. 18.
    19. 20. 21.
    22. 23. 24.
    25. 26. 27.
    28. 29. 30.

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.