Линейные преобразования (операторы).

8.8. Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей. Найти матрицу оператора в базисе из собственных векторов.

Общие сведения и расчётные формулы: для выполнения задания необходимо знать:

Если задана матрица линейного преобразования, то можно записать характеристическую матрицу и характеристический многочлен этого преобразования:

= → = =0.

Решая уравнение: =0, находят характеристических корней этого многочлена:

= .

Эти корни являются собственными значениями линейного преобразования , используя которые, можно записать для некоторого вектора :

= ,

вектор в этом случае называют собственным вектором преобразования , соответствующим собственному значению .

Для нахождения собственных векторов линейного преобразования , соответствующих характеристическому корню , необходимо найти ненулевые решения системы линейных уравнений:

= · =0. (1)

Если в качестве базиса линейного векторного пространства выбрать все собственные векторы, то матрица линейного преобразования будет иметь в этом базисе самый простой вид, а именно:

.

Примеры (и образец оформления):

Пример – 1: Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей: = . Найти матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования.

Решение:

Схема решения: 1) составляем характеристический многочлен и находим его корни;

2) составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов;

3) находим поочередно для каждого собственного значения собственные векторы линейного преобразования.

4) строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования.

1). В нашем случае характеристический многочлен имеет вид:

= = – –(2+ ) = –( +1)³,

его корни: = –1, кратности 3.

2). Составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов:

== (1)

3). Находим собственные векторы линейного преобразования, используя общую запись системы уравнений в виде (1) для = –1:

®

где x₃ свободная неизвестная; пусть x₃ = –с, тогда x₁ = с, x₂ = с, получаем: = с(1, 1, –1).

4). Строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования: .

Ответ: собственные значения: = –1, кратности 3; собственные векторы линейного преобразования имеют вид: = с× (1, 1, –1), где с ¹ 0. Матрица преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования: .

Пример – 2: Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей: = . Найти матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования.

Решение:

Схема решения: 1) составляем характеристический многочлен и находим его корни;

2) составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов;

3) находим поочередно для каждого собственного значения собственные векторы линейного преобразования.

4) строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования.

1). В нашем случае характеристический многочлен имеет вид:

= = = –( –2) =

= ( –2) ( –1) –3(λ –2) = – ( +1)( +2)( –2),

его корни: = –1, = –2, = 2.

2). Составляем систему уравнений для нахождения собственных векторов:

== (1)

3). Находим собственные векторы линейного преобразования, используя общую запись системы уравнений в виде (1):

для = –1: ®

где свободная неизвестная; пусть = , тогда = , = , получаем: = ·(1, 1, 1).

для = –2: ®

где свободная неизвестная; пусть =3 , тогда =2 , =3 , получаем: = ·(2, 3, 3).

для = 2: ®

где свободная неизвестная; пусть =7 , тогда =4 , = , получаем: = ·(4, 1, 7).

4). Строим матрицу линейного преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования: .

Ответ: собственные значения: = –1, = –2, = 2; собственные векторы линейного преобразования имеют вид: = ·(1, 1, 1), где ¹ 0; = ·(2, 3, 3), где ¹ 0; = ·(4, 1, 7), где ¹ 0. Матрица преобразования в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования: .

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.		2.		3.
4.		5.		6.
7.		8.		9.
10.		11.		12.
13.		14.		15.
16.		17.		18.
19.		20.		21.
22.		23.		24.
25.		26.		27.
28.		29.		30.