Прямая на плоскости.

2.1. Даны уравнения двух прямых. Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образованного этими прямыми.

Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.

Пусть имеем две прямые: : x + y + = 0 и : x + y + = 0. Уравнением определя­ется вектор нормали , уравнением вектор нормали . Так как векторы и – свободные, то изобразим их так, чтобы их начала принадлежали соответствующим плоскостям, а сами они располагались внутри одного из углов, образованных пересекающимися прямыми. Важно помнить также, что уравнение прямой можно умножать на произвольное, не равное нулю число. Это значит, что, по необходимости, мы можем разместить векторы и как внутри тупого, так и внутри острого угла. Пусть векторы и разместились внутри тупого угла, как показано на рисунке. Умножим уравнение на число (-1). Вектор нормали этой прямой станет равным , и пара векторов и располо­жится внутри острого угла. Видим, когда векторы нормалей плоскостей располагаются внутри тупого угла угол между ними острый. И наоборот, если векторы расположились внутри острого угла, то угол между ними тупой. Какой из случаев реализуется в конкретном примере, легко определить при помощи скалярного произведения:

а) ∙ > 0 – век­торы расположены в области тупого угла;

б) ∙ < 0 – векторы расположены в области ост­рого угла.

Так как от случая а) легко перейти к случаю б), то для определённости будем считать, что всегда нужно строить биссектрису тупого угла.

Отметим факт: рассматриваемую задачу относят к классическим задачам аналитической геометрии. Важно также то, что существует несколько способов решения этой задачи, причём существенно различающихся как по теоретическим основам, так и технологии применяемых вычислений!

Способ– 1. Пусть ∙ > 0: векторы и располагаются в области тупого угла.

Воспользуемся свойством биссектрисы: каждая принадлежащая ей точка одинаково уда­лена от сторон угла, который биссектриса делит пополам.

Для эффективного (и удобного) исполь­зования понятия расстояние от точки до пря­мой, каждое из уравнений заданных прямых необходимо нормализовать. Нормированное урав­нение прямой удобно как для вычисления отклонения точки от плоскости, так и для вычисления рас­стояния от точки до плоскости. В нашем случае задача упрощается, так как отклонения и произвольной точки биссектрисы от прямых и имеют одинаковые знаки и можно записать: = . Это значит уравнение биссектрисы, как геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, которому эта биссектриса принадлежит, можно записать в виде:

= . (B¹)

Если бы теперь нужно было построить биссектрису острого угла, то её уравнение должно быть записано в виде:

= – . (B²)

Замечание: Если бы векторы и располагались в области острого угла, то биссектриса острого угла определялась бы выражением (B¹), а биссектриса тупого – выражением (B²).

Способ– 2. В этом случае примем схему решения задачи: а) находим точку M₀(x₀, y₀) пересече­ния прямых и ; б) находим направление биссектрис ; в) проводим прямую через заданную точку в заданном направлении.

Для определения направления биссектрис l_В построим единичные векторы: и , затем суммы: = + – этот вектор определяет направление биссектрисы угла, содержащего векторы , ; = – – определяет направле­ние биссектрисы угла, смежного первому.

Используя угловой коэффициент вектора , строим биссектрису угла, содержащего век­торы , ; если использовать угловой коэффициент век­тора , построим биссектрису смеж­ного угла.

Замечание: на самом деле, достаточно найти только один вектор : для первой биссектрисы он играет роль направляющего вектора, а для второй – роль вектора нормали.

Способ– 3. Воспользуемся уравнением пучка прямых: : и вектором . Параметр прямой выбирается из условия: .

Интересно рассмотреть один и тот же пример, решив его сразу всеми тремя способами: это позволит сравнить их трудоёмкости!

Пример (и образец оформления):

Общая часть. Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образованного пересекающимися прямыми: и .