![]() Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Системы линейных уравнений.
6.1. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера. Сделать проверку найденного решения. Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию. Решение системы равнений с использованием формул Крамера проводится для систем линейных неоднородных уравнений
где коэффициенты Системе уравнений (1) соответствуют: матрица системы
Замечание: решение системы уравнений с применением формул Крамера не предполагает построения и использования расширенной матрицы Было показано, что если
Формулы Трудоемкость применения правила Крамера оценивают трудоемкостью вычисления (n+1)-го определителя n-го порядка. Достоинство метода в том, что в записи решения системы используются только коэффициенты исходного уравнения. Нередко последнее оказывается важным в теоретических исследованиях. Замечание: при исследовании произвольной системы линейных уравнений (как неоднородных, так и однородных) формулы Крамера так же применяют, но только после того, как проведено общее исследование системы методом Гаусса или применением теоремы Кронекера-Капелли. Ниже рассмотрены примеры решения систем уравнений с использованием формул Крамера. Примеры (и образец оформления): Пример – 1: Решить систему уравнений: Решение: 1) Используя коэффициенты левой части заданной системы линейных уравнений, запишем определитель: Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer
Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM.
SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием.
Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.
Что умеет делать SeoHammer
— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок. — Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта. — Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы). — SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание. SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Зарегистрироваться и Начать продвижение 2) Вычислим определители:
2) Применяя формулы Крамера: Ответ: решение: (1, 2, 2, 0). Пример – 2: Решить систему уравнений: Решение: 1) Используя коэффициенты левой части заданной системы линейных уравнений, запишем определитель: Замечание: так как 2) Вычислим определители:
Ответ: решений нет. Варианты индивидуальных заданий:
6.2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Сделать проверку найденного решения. Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию. Метод Гаусса называют часто методом последовательного исключения неизвестных. Для реализации этого метода удобно оперировать не с исходной записью системы в виде (1), а с матрицей коэффициентов системы:
её принято называть расширенной матрицей системы уравнений. Метод Гаусса заключается в последовательном применении к строкам матрицы ▫ система уравнений будет несовместной, если в процессе преобразований получается уравнение, в котором коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля; если же такое уравнение не встретим, то система будет совместной; ▫ если система совместной, то она будет определенной, если она приводится к треугольному виду, и неопределенной, если приводится к трапецоидальному виду. В основном метод применяют в тех случаях, когда не предполагается исследование технической системы: нужна лишь оценка (подтверждение) реакции системы на конкретные внешние воздействия. Трудоемкость метода Гаусса оценивают трудоемкостью вычисления одного определителя Рассмотренные ниже примеры решения систем уравнений с использованием метода Гаусса достаточно полно иллюстрируют его возможности. Примеры (и образец оформления): Пример – 1: Решить систему линейных уравнений: Решение: 1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса: Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:— Разгрузит мастера, специалиста или компанию; — Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой; — Разошлет оповещения о новых услугах или акциях; — Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет; — Позволит записываться на групповые и персональные посещения; — Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам; — Включает в себя сервис чаевых. Для новых пользователей первый месяц бесплатно. Зарегистрироваться в сервисе
Выполнены операции: (1): [R4]–[R2]; [R4] делим на 3; [R1]–[R4]; [R2]–[R1]·3; [R3]–[R1]·2. (2): [R2]+[R4]; [R2] делим на 2; [R4]+[R3]; [R4] делим на 3. (3): [R2]–[R3]·3; [R2]+[R3]·7. (4): получение результата. 2). Получены результаты: - система совместна; - ранг системы равен 4 → решение системы единственно. 3). Из уравнения [R2] следует: Ответ: (0, 2, Пример – 2: Решить систему линейных уравнений: Решение: 1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
Выполнены операции: (1): [R4]–[R1]; [R3]–[R1]; [R2]–[R1]·2. (2): [R4]+[R3]; [R3]–[R2]. (3): видим: [R3] – невозможна. 2). Получены результаты: - система несовместна. Ответ: система несовместна. Пример – 3: Решить систему линейных уравнений: Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
Выполнены операции: (1): [R1]–[R2]; [R2]–[R3]; [R3]–[R1]. (2): [R2]–[R1]; делим строку [R2] на 2; [R3]+[R2]. (3): [R2]+[R3]; [R4]+[R2]. (4): раскрываем таблицу и вычисляем все неизвестные. 2). Получены результаты: - система совместна; - ранг системы равен 3 → свободная неизвестная 3). Из уравнения [R3] следует: 4). Получили общее решение заданной системы, записываем ответ. Ответ: Замечание: любая промежуточная ошибка в цепочке вычислений может быть исправлена от места обнаруженной ошибки. Варианты индивидуальных заданий:
6.3. Найти общее решение и ФСР системы линейных однородных уравнений. Сделать проверку найденного решения. Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию. Общая схема решения произвольной системы линейных однородных уравнений: A 1 *: Вычисляем ранг A 2 *: В системе уравнений оставляем только те A 3 *: В левой части каждого из оставшихся для дальнейшего решения уравнений оставляем те A 4 *: Находим решения преобразованной системы уравнений, применяя формулы Крамера: определитель преобразованной системы не равен нулю! A 5 *: Полученное решение системы называют общим: вычисленные по формулам Крамера неизвестные выражаются через свободные неизвестные. Присваивая свободным неизвестным произвольные значения, получаем частные решения. A 6 *: Выбирая Замечание: выбор свободных неизвестных определяет тот, кто исследует заданную систему уравнений, используя или метод Гаусса, или теорему Кронекера-Капелли. Примеры (и образец оформления): Пример – 1: Исследовать систему уравнений: Решение: 1). Составим матрицу: 3). Окаймляющие миноры будем обозначать:
Замечание: параметры: m 1, h 1, g 1 изменяются при переходе к минорам
4). Так как все миноры 3-го порядка оказались равными нулю, то 5). Учитывая расположение не равного нулю минора, 3-е уравнение отбрасываем и свободными неизвестными объявляем далее применяем правило Крамера:
6). Общее решение системы: Ответ: общее решение: Замечание: этот пример иллюстрирует алгоритм вычисления общего и одного частного решений, после чего определение ФСР становится достаточно простым завершением решения системы линейных однородных уравнений.
Пример – 2: Найти общее решение системы уравнений: Решение: 1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
Выполнены операции: (1): [R4]–[R1]; [R2]–[R1]·2; [R3]–[R1]·3. (2): [R3]–[R2]·2; [R4]–[R2]. (3): [R1]–[R2]. (4): раскрываем полученный результат. 2). Видим: 3) Применяем правило Крамера:
4). Общее решение системы: x 4 = 5). Построим ФСР (фундаментальную систему решений), избегая дробей:
Векторы-решения Ответ: общее решение: x 4 = ФСР: Пример – 3: Найти общее решение системы уравнений: Решение: 1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
Выполнены операции: (1): [R2]–[R1]; [R3]–[R1]; делим [R3] на число 2; [R4]–[R2]. (2): [R1]–[R2]; [R4]–[R3]; [R2]–[R1];. (3): [R3]–[R2]. (4): раскрываем полученный результат. 2). Видим: 3). Раскрывая таблицу, из уравнения [R2] вычисляем: 4). Построим ФСР, избегая дробей в записи решений ФСР:
Векторы-решения 5). Используя ФСР, запишем общее решение: Ответ: общее решение: ФСР: Варианты индивидуальных заданий:
6.4. Решить систему неоднородных линейных уравнений, записав его общее решение в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения присоединённой однородной системы. Общие сведения и расчётные формулы: для выполнения задания достаточно следовать алгоритму решения, представленному в примере. Пример – 1: Решить систему уравнений: Решение: 1). Полное исследование системы позволяют провести как метод Гаусса, так и алгоритм в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли. Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
Выполнены операции: (1): [R1]–[R4]; [R3]–[R2]; [R2]–[R1]·8; [R4]–[R1]·5. (2): [R3]–[R1]; [R4]–[R2]. (3): обрабатываем результаты. 2). Получены результаты: - система совместна; - ранг системы равен 3; свободные неизвестные: - раскрываем строки преобразованной системы: из уравнения [R4]: 3). Частное решение системы найдём при условии, что свободным неизвестным присвоили значения 4). Общее решение присоединённой однородной системы:
Векторы-решения 5). Общее решение системы: Ответ: общее решение: Варианты индивидуальных заданий:
|