Сравнение двух зависимых выборок

Самым чувствительным (мощным) аналогом критерия t-Стьюдента для зависимых выборок является критерий Т-Вилкоксона (Wi1сохоп signed-rank test). Непараметрическим его аналогом является критерий знаков, который еще проще в вычислительном отношении, но обладает меньшей чувствительно­стью, чем критерий T-Вилкоксона. Критерий T основан на упорядочивании величин разностей (сдвигов) значений признака в каждой паре его измере­ний (критерий знаков основан на учете только знака этой разности). Соот­ветственно, критерий Т, будучи менее чувствительным аналогом t-Стьюдента, более чувствителен по сравнению с другими непараметрическими критерия­ми для повторных измерений (зависимых выборок).

T-Вилкоксона основан на ранжировании абсолютных разностей пар зна­чений зависимых выборок. Далее подсчитывается сумма рангов для положи­тельных разностей и сумма рангов для отрицательных разностей. Идея кри­терия Г заключается в подсчете вероятности получения минимальной из этих разностей при условии, что распределение положительных или отрицатель­ных разностей равновероятно и равно 1/2.

Для расчетов «вручную» не требуется особых формул: достаточно подсчи­тать суммы рангов для положительных и отрицательных разностей. Затем меньшая из сумм принимается в качестве эмпирического значения критерия, значение которого сравнивается с табличным значением (приложение 10), рассчитанным для условия равной вероятности положительных и отрицатель­ных разностей для данного объема выборки. Конечно, чем больше различия, тем меньше эмпирическое значение Т, тем менее вероятно получение такого значения при условии равной вероятности встречаемости положительных и отрицательных разностей, следовательно, тем меньше значение p-уровня.

ПРИМЕР 12.2 _________________________________________ '

Проверим гипотезу о различии значений показателя, измеренного дважды на од­ной и той же выборке («Условие 1» и «Условие 2»), на уровне α = 0, 05:

Ш а г 1. Подсчитать разности значений для каждого объекта выборки (строка 4).

Ш а г 2. Ранжировать абсолютные значения разностей (строка 5).

Ш а г 3. Выписать ранга положительных и отрицательных значений разностей (стро­ки 6 и 7).

Ш а г 4. Подсчитать суммы рангов отдельно для положительных и отрицательных разностей: T₁ = 13; T₂ = 65. За эмпирическое значение критерия T_эмп принимается меньшая сумма: T_эмп= 13.

Шаг 5. Определяется р-уровень значимости: Т_эмп сравнивается с табличным (при­ложение 10) для соответствующего объема выборки. Значение р < 0, 05 (0, 01), если вычисленное T_эмп ≤ T_табл В нашем случае эмпирическое значение равно критиче­скому значению для р = 0, 05. Следовательно, р = 0, 05.

Ш а г 6. Принимается статистическое решение и формулируется содержательный вывод. На уровне α = 0, 05 принимается статистическая гипотеза о различии двух условий по уровню выраженности изучаемого признака. Уровень выраженности признака для условия 2 статистически значимо выше, чем для условия 1 (р= 0, 05).

Замечание. Связи в рангах абсолютных значений разностей для вы­числений «вручную» не предусмотрены. Хотя их влияние и не очень существенно, но если доля одинаковых ран­гов велика и превышает, скажем, 50%, то предлагаемый алгоритм неприменим, пользуйтесь компьютерной програм­мой (SРSS, Statistiса) или G-критерием знаков.

Критерий знаков G (Sign test) — менее чувствительная к сдвигам альтернатива критерия T-Вилкоксона. Для того чтобы им воспользоваться, достаточно под­считать количество отрицательных и положительных сдвигов.

ПРИМЕР ___________________________________________

Проверим гипотезу о различии в отношении данных примера 12.2с использовани­ем критерия знаков (на уровне α = 0, 05).

Ш а г 1. Подсчитать количество положительных и отрицательных разностей значе­ний (по строке 4). Сдвиг в значениях, соответствующий наибольшему числу из этих разностей, принимается за типичный сдвиг. Количество типичных сдвигов обозна­чается М, а количество нетипичных сдвигов принимается в качестве эмпирического значения критерия G_эмп В нашем случае количество типичных сдвигов N=9, а ко­личество нетипичных сдвигов G_энп =3.

Ш а г 2. Определяется р-уровень значимости: G_ЭМП (количество нетипичных сдвигов) сравнивается с табличным критическим (приложение 11) для соответствующего N (количества типичных сдвигов). Чем меньше G_эмп, тем меньше значение р-уровня. Значение р < 0, 05 (0, 01), если вычисленное G_эмп ≤ G_габл В нашем случае для N=9 табличное значение для р = 0, 05 равно 1, и G_эмп его превышает. Следовательно, р > 0, 05.

Ш а г 3. Принимается статистическое решение и формулируется содержательный вывод,. На уровне α = 0, 05 принимается нулевая статистическая гипотеза об отсут­ствии различий. Между условиями 1 и 2 не обнаружены статистически достоверные различия в уровне выраженности изучаемого признака (р> 0, 05).

Обработка на компьютере: