Сравнение дисперсий

Метод позволяет проверить гипотезу о том, что дисперсии двух генераль­ных совокупностей, из которых извлечены сравниваемые выборки, отлича­ются друг от друга. Проверяемая статистическая гипотеза Н₀: σ ²₁ = σ ²₂. При ее отклонении принимается альтернативная гипотеза о том, что одна дисперсия больше другой.

Исходные предположения: две выборки извлекаются случайно из разных ге­неральных совокупностей с нормальным распределением изучаемого признака.

Структура исходных данных: изучаемый признак измерен у объектов (ис­пытуемых), каждый из которых принадлежит к одной из двух сравниваемых выборок.

ПРИМЕР _________________________________________

При сравнении мужчин (1) и женщин (2) по уровню тревожности:

Ограничения: распределения признака и в той, и в другой выборке суще­ственно не отличаются от нормального,

Альтернатива методу: критерий Ливена (Livene’s Test), применение кото­рого не требует проверки предположения о нормальности (используется в программе SРSS).

Формула для эмпирического значения критерия F-Фишера:

F_Э= σ ²₁/ σ ²₂, df_числ=N₁-1; df_знам=N₂-1.

где σ ²₁— большая дисперсия, а σ ²₂ — меньшая дисперсия. Так как заранее не известно, какая дисперсия больше, то для определения р-уровня применяется Таблица критических значений для ненаправленных альтернатив. Если F_э> F _кр для соответствующего числа степеней свободы, то р≤ 0, 05 и статистическую гипотезу о равенстве дисперсий можно отклонить (для α = 0, 05).

Метод может применяться для проверки предположения о равенстве (го­могенности) дисперсий перед проверкой достоверности различия средних по критерию t-Стьюдента для независимых выборок разной численности. Одна­ко содержательная интерпретация статистически достоверного различия дис­персий может иметь и самостоятельную ценность.

ПРИМЕР 11.1 _____________

Детям давались обычные арифметические задания, после чего одной случайно выбранной половине учащихся сообщали, что они не выдержали испытания, а ос­тальным — обратное. Затем у каждого ребенка спрашивали, сколько секунд ему потребовалось бы для решения аналогичной задачи. Экспериментатор вычислял разность между называемым ребенком временем и результатом выполненного за­дания (в сек.). Ожидалось, что сообщение о неудаче вызовет некоторую неадекват­ность самооценки ребенка. Проверяемая гипотеза (на уровне α = 0, 05) состояла в том, что дисперсия совокупности самооценок не зависит от сообщений об удаче или неудаче (Н₀: σ ²₁= σ ²₂).

Были получены следующие данные:

Ш а г 1. Вычислим эмпирическое значение критерия и числа степеней свободы по формулам 11.1

Шаг 2. По таблице критических значений критерия F-Фишера для ненаправлен­ных альтернатив (приложение 8) находим критическое значение для df_числ = 11; df_знам= 11. Однако критическое значение есть только для df_числ = 10и df_знам = 12. Боль­шее число степеней свободы брать нельзя, поэтому берем критическое значение для df_числ=10; для р = 0, 05 F_кр = 3, 526; для р = 0, 01 F_кр = 5, 418.

Ш а г 3. Принятие статистического решения и содержательный вывод. Поскольку эмпирическое значение превышает критическое значение для р = 0, 01 (и тем бо­лее — для р = 0, 05), то в данном случае р< 0, 01 и принимается альтернативная гипо­теза: дисперсия в группе 1 превышает дисперсию в группе 2 (р< 0, 01). Следователь­но, после сообщения о неудаче неадекватность самооценки выше, чем после сооб­щения об удаче.