Сравнение более двух зависимых выборок

Критерий χ ²-Фридмана (Friedтап test) является непараметрическим анало­гом однофакторного дисперсионного анализа (ANOVA) для повторных изме­рений. Он позволяет проверять гипотезы о различии более двух зависимых знака, Критерий χ ²-Фридмана может быть более эффективен, чем его метри­ческий аналог АNОVА и случаях повторных измерений изучаемого признака на небольших выборках.

Критерий χ ² -Фридмана основан на ранжировании ряда повторных изме­рений для каждого объекта выборки. Затем вычисляется сумма рангов для каж­дого из условий (повторных измерений). Если выполняется статистическая гипотеза об отсутствии различий между повторными измерениями, то можно ожидать примерное равенство сумм рангов для этих условий. Чем больше раз­личаются зависимые выборки по изучаемому признаку, тем больше эмпири­ческое значение χ ² -Фридмана.

Эмпирическое значение χ ² -Фридмана вычисляется после ранжирования ряда повторных измерений для каждого объекта по формуле:

где N — число объектов (испытуемых), k — количество условий (повторных измерений), R_i— сумма рангов для условия i.

При расчетах «вручную» для определения p-уровня пользуются таблицами критических значений. Если k— 3, N> 9 или k> 3, N> 4, то пользуются обыч­ной таблицей для χ ², df=k—1 (приложение 4). Если k = 3, N< 10 или k = 4 N< 5, то пользуются дополнительными таблицами критических значений χ ² -Фридмана (приложение 13).

При отклонении нулевой статистической гипотезы об отсутствии разли­чий принимается альтернативная гипотеза о статистически достоверных раз­личиях выборок по изучаемому признаку — без конкретизации направления различий. Для утверждений о том, что уровень выраженности признака в ка­кой-то из сравниваемых выборок, выше или ниже, необходимо парное соотнесение выборок по критерию Т-Вилкоксона.

ПРИМЕР 12.4 __________________________________" _____

Проверим гипотезу о различии четырех зависимых выборок по уровню выражен­ности признака Х(о различии четырех условий для одной и той же выборки). Для принятия статистического решения α = 0, 05:

Шаг 1. Для каждого объекта условия ранжируются (по строке).

Ш а г 2. Вычисляется сумма рангов для каждого условия: R₁=14, R₂ = 15, R₃ = 9, R₄ = 22

Ш а г 3. Вычисляется эмпирическое значение χ ² -Фридмана по формуле 12.3

Ш а г 4. Определяется p-уровень значимости. Так как k > 3, N > 4, то пользуются обычной таблицей для χ ² (приложение 4). Эмпирическое значение χ ² находится меж­ду критическими для р ~ 0, 05 и р = 0, 01. Следовательно, р < 0, 05.

Ш а г 5. Принимается статистическое решение и формулируется содержательный вывод. На уровне α = 0, 05 гипотеза Н₀ отклоняется, Содержательный вывод; срав­ниваемые условия статистически достоверно различаются по уровню выраженно­сти признака (р < 0, 05).

Отметим, что на основании такой проверки мы не можем сделать конкретный вы­вод о направлении различий и о том, в каких условиях признак принимает боль­шие или меньшие значения. Для этого необходимо парное соотнесение условий по соответствующему критерию (T-Вилкоксонa).

Обработка на компьютере: