ПРИМЕР__. Исследовалось влияние на продуктивность воспроизведения (Y) вербального ма­териала интервала между 5 повторениями (X1 — 3 градации: 1 — 0 мин

Исследовалось влияние на продуктивность воспроизведения (Y) вербального ма­териала интервала между 5 повторениями (X₁ — 3 градации: 1 — 0 мин, 2 — 3 мин. 3—10 мин).

Структура данных:

Ограничения: если дисперсии выборок различаются статистически досто­верно, то метод неприменим. Для проверки однородности дисперсии приме­няется критерий Ливана (Levene’s Test of Homogeneity of Variances). Формаль­но численность выборок не должна быть менее 2 объектов (фактически необходимо иметь не менее 5 объектов в каждой выборке).

Альтернатива методу: сравнение независимых выборок по критерию H-Краскала-Уоллеса.

Основной результат: принятие или отклонение нулевой статистической гипотезы о равенстве средних значений, соответствующих разным уровням фактора. Основной показатель для принятия решения — р-уровень значимо­сти критерия F-Фишера,

Дополнительно возможны множественные сравнения средних значений, позволяющие сделать вывод о том, как различаются друг от друга средние зна­чения для разных градаций фактора.

Рассмотрим общие принципы и последовательность вычислений для однофакторного АНОУА в случае равной численности сравниваемых выборок.

Исходная идея АNОVА заключается в возможности разложения показателя изменчивости признака на две составляющие: изменчивость внутри групп и изменчивость между группами. В качестве показателя изменчивости исполь­зуется сумма квадратов отклонения значений признака от среднего, которая обозначается SS{Sum of Squares).

Общая (Тоtаl) сумма квадратов (SS_total) является показателем общей измен­чивости зависимой переменной и представляет собой числитель дисперсии:

Соответственно, общая сумма квадратов равна сумме межгрупповой и внутригрупповой сумм квадратов:

Межгрупповая (Between-Group) сумма квадратов (SS_bg) — показатель изменчивости между k группами (каждая численностью п объектов):

где М_j — среднее значение для группы.

Отношение межгрупповой и общей суммы квадратов показывает долю общей дисперсии зависимой переменной, обусловленную влиянием фактора. Этот показа­тель идентичен по смыслу квадрату коэффициента корреляции в регрессионном анализе, поэтому тоже называется коэффициентом детерминации (R²):

Коэффициент детерминации может принимать значения от 0 до 1. Чем

больше этот показатель, тем больше влияние изучаемого фактора на диспер­сию зависимой переменной. Помноженный на 100, он выражает процент уч­тенной дисперсии.

Внутригрупповая (Within-Grоир) сумма квадратов (SS_wg — показатель слу­чайной изменчивости (внутри групп):

На величину сумм квадратов влияет численность и количество сравнивае­мых групп. Поэтому для сопоставления межгрупповой и внутригрупповой изменчивости используются средние квадраты (обозначается МS — от анг­лийского Меаn оf Squares). Средний квадрат — это частное отделения суммы квадратов на соответствующее число степеней свободы.

Каждая сумма квадратов характеризуется своим числом степеней свободы (df). Так, общее число степеней свободы соответствует обшей сумме квадратов и равно:

df_total=N-1

Заметим, что частное от деления общей суммы квадратов на общее число степеней свободы — общий средний квадрат — это общая дисперсия.

Число степеней свободы для межгрупповой суммы квадратов равно числу сла­гаемых минус один (число групп минус 1):

df_bg=k-1

Число степеней свободы для внутригрупповой суммы квадратов:

df_wg =df_total- df_dg =N-k

После определения числа степеней свободы вычисляются средние квад­раты:

MS_bg=SS_bg/df_bg - межгрупповой средний квадрат;

MS_wg=SS_wg/df_wg - внутригрупповой средний квадрат.

Следует отметить, что тот и другой средние квадраты представляют собой различные выборочные оценки одной и той же генеральной дисперсии — для случая, когда сравниваемые средние не различаются. Однако это не так в слу­чае, если хотя бы два из всех сравниваемых средних различаются: тогда меж­групповой средний квадрат превысит внутригрупповой средний квадрат. И чем больше величина отношения межгруппового к внутригрупповому среднему квадрату, тем больше оснований считать, что сравниваемые средние значе­ния различаются. Соответственно, основным показателем АNОVА является F-отношение ~ эмпирическое значение критерия F-Фишера:

F_Э= MS_bg/MS_wg, df_bg=k-1; df_wg=N-k.

Процедура проверки Н₀ подразумевает направленную альтернативу, так как ее отклонению соответствует только большее значение F_э (МS_bg > МS_wg). По­этому для определения р-уровня значимости при вычислениях «вручную» при­меняются таблицы критических значений F-распределения для направлен­ных альтернатив (односторонний критерий). Для одних и тех же df уровень значимости возрастает (р-уровень убывает) при возрастании F_ъ.

Последовательность выполнения АNОVА является общей для любого числа факторов. Вначале в общей изменчивости зависи­мой переменной выделяются основные ее составляющие. (В однофакторном АNОVА их две: внутри групповая (случайная) и меж­групповая (факторная) изменчивость.) После этого вычисляются соответствующие показатели в следующей последовательности:

- суммы квадратов (SS);

- числа степеней свободы (df);

- средние квадраты (МS);

- F-отношения;

- p-уровни значимости.