💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Последовательный распад радиоактивных ядер. Радиоактивное равновесие

Распад исходного или материнского ядра может происходить не только с образованием стабильного ядра, но и ядра, которое является радиоактивным. В этом случае закон радиоактивного распада для всей системы ядер будет выглядеть по иному.

Для системы из n генетически связанных радиоактивных ядер значения N_i для каждого ядра в этой задаче определяются из системы уравнений, характеризующих распад и накопление числа радиоактивных атомов нуклидов семейства:

(2.24)

где l _i – соответствует постоянной распада ядра.

Решение системы уравнений дает число радиоактивных атомов отдельных нуклидов:

(2.25)

или, если учесть, что , то получим соотношение для активностей дочерних продуктов:

(2.26)

Вывод уравнений (2.25) и (2.26) в общем виде достаточно сложен, поэтому ограничимся лишь выводом уравнения для наиболее важного случая: образования дочернего радионуклида из материнского. Помимо радиоактивных семейств, где обычно для расчета активности достаточно использовать представленные ниже уравнения, необходимо отметить, что эти уравнения используют и для расчета активности в так называемых «изотопных генераторах», когда период полураспада материнского радионуклида во много раз больше периода полураспада дочернего. Классическим примером изотопного генератора является пара ⁹⁰Sr (29, 1 года)→ ⁹⁰Y (64, 1 ч)→. Достоинством изотопных генераторов является возможность многократно получать дочерний радионуклид с активностью, практически равной активности материнского. Следует отметить, что при этом не происходит никакого нарушения законов сохранения. Законы сохранения действительны для массы, числа нуклонов, заряда и т.д., тогда как активность является производной числа ядер определенного вида по времени.

Дифференциальное уравнение для расчета числа ядер дочернего радионуклида N ₂ имеет вид

, (2.27)

где индекс «1» относится к материнскому радионуклиду.

Уравнение (2.27) отличается от дифференциального уравнения закона радиоактивного распада (2.2) наличием в правой части второго члена, который показывает непрерывное образование дочернего радионуклида из материнского. При отсутствии второго члена интегрирование уравнения (2.27) привело бы к интегральному уравнению закона радиоактивного распада (2.4).

Дифференциальное уравнение (2.27) относится в математике к классу дифференциальных уравнений с правой частью. Для их интегрирования применяется замена переменных:

; . (2.28)

Подставляя (2.28) в (2.27) и группируя аналогичные члены, получим:

. (3.29)

В уравнении (2.29) первый член в левой части приравнивают 0. Тогда

. (2.30)

Подставляя (2.30) в (2.29), получим:

. (2.31)

Интегрирование (2.31) приводит к

. (2.32)

или

. (2.33)

Постоянную интегрирования C определяем из условия: при t = 0 N ₂ = N ₂₀:

, (2.34)

. (2.35)

Подставив (2.35) в (2.33), получим:

. (2.36)

Уравнение (2.36) можно записать и через активности, умножив левую и правую часть на λ ₂:

. (2.37)

Уравнения (2.36) и (2.37) можно упростить для некоторых конкретных условий. Для начала можно пренебречь начальной активностью дочернего радионуклида и вынести exp(–λ ₁ t) из-под скобки, тогда

. (2.38)

Вековое равновесие. Положим, что период полураспада материнского радионуклида (Т _1/2)₁ много больше, чем у дочернего (Т _1/2)₂. Это эквивалентно неравенству λ ₂ > > λ ₁. Тогда уравнение (2.38) примет вид

. (2.39)

Уравнение (2.39) показывает, что с увеличением времени активность дочернего радионуклида приближается к активности материнского и в пределе становится равным ей. Тогда при t → ∞

А ₂ = А ₁. (2.40)

Уравнение (2.40) выражает вековое равновесие.

Чтобы определить скорость достижения векового равновесия, надо учесть (2.11), и тогда уравнение (2.39) примет вид

, (2.39а)

где – число периодов полураспада дочернего радионуклида.

Уравнение (2.39а) показывает, что скорость установления векового равновесия зависит только от периода полураспада дочернего радионуклида. Через один период полураспада накапливается половина максимального количества дочернего радионуклида, через два – три четверти, через три – семь восьмых и т.д. Через 10 периодов полураспада дочернего радионуклида его активность меньше максимальной на 1/1024, и это время обычно условно принимается как время наступления векового равновесия. В дальнейшем активности как первого, так и второго радионуклидов, а также и последующих будут меняться во времени одинаково. То есть устанавливается вековое равновесие, при котором число ядер изотопов в цепочке последовательных распадов связано с постоянными распада (периодами полураспада) соотношением

. (2.41)

Радиоактивным равновесием называют состояние системы, содержащей материнский и связанные с ними дочерние нуклиды, при котором соотношение количеств материнского и дочерних нуклидов не меняется со временем. К состоянию радиоактивного равновесия приводит конкуренция процессов распада и накопления дочерних нуклидов в тех случаях, когда (Т _1/2)₁ > > (Т _1/2)₂ и t > > (Т _1/2)₂.

Можно обобщить этот результат для большего числа последовательных распадов при условии (Т _1/2)₁ > > (Т _1/2)_i:

. (2.41а)

Поэтому в естественном состоянии все изотопы, генетически связанные в радиоактивных рядах, обычно находятся в определенных количественных соотношениях, зависящих от их периодов полураспада.

Подвижное равновесие. Если l₁ и l₂ различаются не более чем в 5–10 раз, то в этом случае говорят о подвижном равновесии, и тогда из уравнения (2.38) можно найти соотношение между количествами ядер материнского и дочернего нуклида

. (2.42)

Переходя от количеств генетически связанных радионуклидов к их активностям, получим:

. (2.43)

Из уравнения видно, что при подвижном равновесии активность дочернего нуклида больше активности материнского в .

Характерные кривые для векового и подвижного равновесий представлены на рис. 2.1 и 2.2.

Отсутствие равновесия. Если соотношение периодов полураспада материнского и дочернего радионуклидов таково, что (Т _1/2)₁ < < (Т _1/2)₂, то это означает, что материнский радионуклид распадается быстрее дочернего и равновесие не достигается.

Рис. 2.1. Подвижное равновесие при (Т_1/2)₁ = 8 ч; (Т_1/2)₂ = 0, 8 ч.

a – полная активность препарата, содержащего первоначально очищенный материнский и накапливающийся дочерний изотоп; б – прямая, характеризующая распад материнского изотопа; в – кривая изменения активности дочернего изотопа; г – прямая, характеризующая распад чистого дочернего изотопа

Рис. 2.2. Вековое равновесие при (Т_1/2)₁ = ∞, (Т_1/2)₂ = 8 ч

(обозначения те же, что и на рис. 2.1)