Радиоактивного распада

Радиоактивный распад является статистическим процессом. То есть конкретное радиоактивное ядро может распасться в любой момент времени, а закономерности процесса будут наблюдаться только в случае распада достаточно большого количества ядер. Более того, количество распавшихся ядер n за время t является случайной величиной, распределенной по биноминальному закону.

Пусть N – общее количество ядер определенного вида, а p_t – вероятность распада отдельного ядра за промежуток времени t. Тогда вероятность распада n ядер за время t будет равна

, (2.14)

где – число сочетаний из N по n, равное

, (2.15)

, (2.16)

где суммирование проводится по n = 0÷ N.

Основными характеристиками случайной величины, распределенной в соответствии с некоторым законом, являются математическое ожидание M и дисперсия D. Для биноминального распределения имеем:

, (2.17)

, (2.18)

где суммирование проводится по n = 0÷ N.

Биноминальное распределение не очень удобно для расчетов и используется лишь при обработке экспериментальных данных с бедной статистикой (например, когда происходит распад нескольких десятков радиоактивных ядер). В других же случаях применяется распределение Пуассона:

. (2.19)

Условиями, при которых биноминальное распределение переходит в распределение Пуассона, являются: N → ∞, p _t = < < 1. Тогда уравнение (2.14) c использованием (2.15) принимает вид

(2.20)

В правой части уравнения (2.20) имеем произведение трех членов, из которых предельные значения второго и третьего надо найти при N → ∞:

,

.

Тогда из (2.20) получим уравнение, совпадающее с (2.19):

.

У распределения Пуассона есть замечательное свойство: математическое ожидание равно дисперсии распределяемой величины:

. (2.21)

Чтобы получить уравнение (2.21), достаточно найти при N → ∞ lim(1 – p_t) = 1. Тогда значения в правой части уравнений (2.17) и (2.18) становятся равными.

Отметим два следствия, вытекающие из уравнения (2.21).

1. Нет необходимости проводить специальные эксперименты для определения дисперсии измеряемой величины. В одном эксперименте получают оценку среднего и оценку дисперсии.

2. Сравнение дисперсии, определяемой по уравнению (2.21), с выборочной дисперсией, определяемой по k параллельным измерениям, позволяет проверить правильность работы счетной аппаратуры.

Необходимо пояснить смысл перехода биноминального распределения в распределение Пуассона при N → ∞. Практически такой переход становится возможным, если в процессе эксперимента можно пренебречь изменением N.