Подстановки Эйлера.

Интегралы вида могут быть приведены к интегралу от рациональной функции с помощью подстановок Эйлера.

Первая подстановка Эйлера применима, если

Из указанной подстановки имеем , .

Пример 43. =

Замечание. При рационализация интеграла может быть достигнута с помощью подстановки , где комбинация знаков произвольна.

Вторая подстановка Эйлера применима при Из указанной подстановки получаем:

Пример 44 (см.пример 43).

Третья подстановка Эйлера применимавсякий раз, когдаквадратный трехчлен имеет действительные корни ( - любое число, отличное от нуля).

Пусть и корни квадратного трехчлена . Тогда

из подстановки имеем

Пример 45. J =

Подкоренное выражение положительно при 1< < 2. Тогда, полагая

, имеем

J=

3.2.2. Интегрирование выражений вида .

Указанные выражения являются частными случаями выражения . Для интегрирования первого из этих выражений может быть применен метод неопределенных коэффициентов:

= ,

где коэффициенты многочлена и число определяют следующим образом.

Обе части последнего равенства дифференцируют по и результат умножают на : = ,

Далее сравнивают коэффициенты при одинаковых степенях .

Пример 46. =

Умножаем обе части равенства на .

= .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях

=

Замечание. Вычисление интеграла

умножением и делением на сводится к вычислению интеграла .