Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Линейные операции над векторами. Умножение вектора на число, его свойства, условие коллинеарности векторов.






    Суммой двух векторов и называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора (правильно треугольника). Построение суммы изображено на рис. 1.

    Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) правилом параллелограма: если векторы и приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма есть вектор, совпадающий с диагональю этого паралеллограмма, идущей из общего начала и (рис. 2). Отсюда сразу следует, что .

    Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника (см. рис. 3, где изображено построение суммы четырех векторов , , , ).

    Разность двух векторов и называется вектор, который в сумме с вектором составляет вектор . Если два вектора и приведены к общему началу, то разность их есть вектор, идущий из конца («вычитаемого») к концу («уменьшаемого»). Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен символом , то другой обозначается символом . Легко видеть, что . Таким образом, построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемого».

    Произведение (или также ) вектора на число называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора на модуль числа ; он параллелен вектору или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор , если - число положительное, и противоположно вектору , если - число отрицательное.

    Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

    Имеют место следующие две основные теоремы о проекциях векторов:

    1). Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна сумме ее проекций на эту же ось:

    2). При умножении вектора на число его проекция умножается на то же число:

    .

    В частности, если

    , ,

    то

    ,

    и

    .

    Если , то для любого числа

    .

    Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов

    , ,

    является пропорциональность их координат:

    .

    Тройка векторов , , называется координатным базисом, если эти векторы удовлетворяют следующим условиям:

    1). Вектор лежит на оси Ох, вектор - на оси Оу, вектор - на оси Oz;

    2). Каждый из векторов , , направлен по своей оси в положительную сторону;

    3). Векторы , , единичные, то есть , , .

    Каким бы ни был вектор , он всегда может быть разложен по базису , , , то есть может быть представлен в виде

    ;

    коэффициенты этого разложения являются координатами вектора (то есть X, Y, Z суть проекции вектора на координатные оси).

    Произведением вектора на действительное число называется вектор , удовлетворяющий следующим двум условиям:

    1) ;

    2) , если и , если ;

    и обозначается .

    Теорема. (Свойства умножения вектора на число.)

    1. Свойство ассоциативности: верно

    равенство .

    2. Свойство дистрибутивности умножения относительно

    сложения чисел: верно равенство

    .

    3. Свойство дистрибутивности умножения относительно

    сложения векторов: верно равенство

    .

    4. верно равенство .

    Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости

    Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевого вектора и вектора является существование такого числа , которое удовлетворяет равенству

     

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.