Развитие мыслительной деятельности.

«Геометрия 5 – 6» открывает широкие возможности для формирования мыслительной деятельности всех учащихся. Курс направлен на формирование умственного развития учащихся посредством отработки конкретных приемов умственной деятельности: прежде всего синтеза и анализа, а затем абстрагирования, сравнения, обобщения, конкретизации, аналогии.

Процесс формирования приемов мыслительной деятельности осуществляется с помощью специально подобранной системы упражнений. Вопросы, задачи и задания к каждому разделу изучаемой темы объединены в шесть групп. Каждая группа задач обозначена соответствующим знаком и имеет свои четко обозначенные цели:

1) задачи-вопросы для самоконтроля учат делать выводы, т.е. получать следствия из условия задачи; с их помощью легко проверить, усвоен ли основной теоретический материал; уметь решать такие задачи должен каждый ученик;

2) более сложные задачи для самоконтроля, в которых нужно не только получить следствие из условия задачи, но и выяснить причину появления этого следствия;

3) стандартные задачи – наиболее простые задачи, без умения решать которые нельзя получить положительную оценку;

4) учебные задачи – самая многочисленная группа задач, которые приходится решать в классе и дома; они позволяют усвоить основной материал учебника и перейти к решению более сложных геометрических задач;

5) творческие задачи, которые не удается решить стандартными методами, для их решения нужны некоторые идеи;

6) исследовательские задания, которые требуют для своего решения знаний сразу нескольких тем курса; такие задачи не могут полностью решаться в классе, они предполагают работу дома (возможно, даже не одного, а нескольких учеников).

Гусев предлагает следующую структуру учебника [3; с.255]:

Глава 1. Введение в геометрию.

Тема 1. Геометрия как учебный предмет (2 часа).

Пространство, которое нас окружает. Что изучает геометрия. Краткая история возникновения геометрии.

Основная цель – заинтересовать учащихся новым предметом.

Содержательная нагрузка темы состоит в привлечении внимания учащихся к окружающему миру, в котором мы живем и который изучает геометрия. Все, что нас окружает, – это пространство, а объекты в пространстве с позиции геометрии – это геометрические фигуры или тела. Материал темы можно изучать отдельно или совместить с изучением темы 2.

Тема 2. Плоскости, точки, прямые и их расположение в пространстве (10 часов).

Плоскости в пространстве. Точки, прямые, аксиома прямой. Провешивание прямой на поверхности Земли. Взаимное расположение точек и прямых. Аксиома плоскости. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Аксиома прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Взаимное расположение плоскостей.

Основная цель темы – знакомство с основными геометрическими фигурами и возможностями их взаимного расположения.

Тема знакомит учащихся с первыми основными понятиями геометрии, которые относятся к неопределенным геометрическим понятиям, при этом подчеркивается абстрактный характер этих понятий.

Рассмотрение двух различных точек приводит к появлению понятия прямой и первой аксиомы курса – аксиомы прямой.

Взаимное расположение точек и прямых подводит учащихся к проблеме взаимного расположения фигур в пространстве.

Представление о плоскости позволяет сформировать аксиому плоскости, которая в дальнейшем будет широко применяться. Аксиома прямой и плоскости кладет начало рассмотрению взаимного расположения этих фигур. Изучаются возможные случаи взаимного расположения прямых: пересекающиеся прямые, параллельные прямые, скрещивающиеся прямые.

Глава 2. Геометрические фигуры.

Тема 3. Общее представление о геометрических фигурах (7 часов).

Геометрические фигуры, их объединение и пересечение. Абстрактный характер изучения фигур и их свойств в геометрии. Взаимное расположение плоскостей и фигур в геометрии. Изучение геометрических фигур.

Основная цель – формирование у учащихся представления о геометрической фигуре как о множестве точек.

Тема закладывает основу восприятия геометрической фигуры как множества точек. При этом происходит знакомство как с плоскими, так и с пространственными фигурами. Свойства этих фигур изучаются во взаимосвязи.

Учащиеся знакомятся с большим числом различных фигур. На их примерах рассматривается пересечение и объединение фигур. Строгие определения этих понятий не даются.

При изучении изображений геометрических фигур особое внимание уделяется изображение пространственных фигур.

Тема 4. Отрезки. Измерение отрезков. Расстояния. (9 часов).

Понятие отрезка. Числа и величины. Длина отрезка. Измерение длины отрезка. Представление о равенстве фигур. Разные отрезки. Расстояние между точками и их свойства. Измерение расстояния между двумя точками на практике. Расстояние от точки до фигуры. Расстояние между фигурами.

Основная цель – знакомство учащихся с первым конкретным примером геометрической фигуры и формирование общего представления о геометрических величинах.

Учащиеся получают первую информацию о таких фундаментальных понятиях математики, как число, величина, измерение величин, единицы измерения.

Представление о разных отрезках затрагивает важное для геометрии понятие – равенство фигур. Здесь проводится лишь вводная беседа.

Кроме основных свойств расстояний вводятся такие понятия, как точка, лежащая между двумя другими точками, середина отрезка и т.д.

Тема 5. Ломаная (4 часа).

Понятие ломаной. Длина ломаной и ее свойства.

Основная цель – демонстрация применения понятия отрезка и знакомство с основными свойствами ломаных.

В теме продолжается рассмотрение свойств отрезков. Основной интерес представляет рассмотрение различных ломаных, составленных из ребер и диагоналей куба.

Тема 6. Окружность и круг. Сфера и шар. (8 часов).

Определения и свойства круглых фигур. Взаимное расположение прямой и окружности (круга) и двух окружностей (кругов). Сечения круглых фигур. Части круглых фигур. Изображение круглых фигур.

Основная цель – знакомство учащихся с круглыми фигурами и некоторыми их свойствами.

В теме дается определение четырем геометрическим фигурам: окружности, кругу, сфере и шару. На основе понятий отрезка, прямой и расстояния вводятся такие понятия как радиус, диаметр, хорда, касательная прямая, касательная плоскость. Важным является рассмотрение сечений сферы и шара.

Тема 7. Разбиение прямой (3 часа).

Луч. Направление.

Основная цель – знакомство с понятиями луча и направления.

Тема посвящена важному понятию геометрии – лучу. Главная задача этой темы – изучение основных возможностей взаимного расположения лучей. Здесь рассматриваются различные приложения лучей, вводится понятие направления.

Тема 8. Углы, их измерение и применение (6 часов).

Определение угла. Измерение углов в геометрии и в реальной жизни. Равенство углов. Биссектриса угла. Разные приложения углов.

Основная цель – знакомство с понятием угла и способами измерения углов.

В теме вводятся определения угла, луча, проходящего между сторонами угла, угла между направлениями. Понятие угла иллюстрируется на примерах уже известных геометрических фигур.

Свойства измерения углов рассматриваются на интуитивно-наглядном уровне. Равенство и неравенство углов трактуется и через наложение углов, и через сравнение их величин.

Тема 9. Треугольники. Многоугольники. Многогранники. (13 часов).

Определение треугольника. Виды треугольников. Углы треугольника. Свойства прямоугольного треугольника. Жесткость треугольника. Многоугольники. Углы многоугольника. Правильные многоугольники. Понятие многоугольника. Развертки многоугольника.

Основная цель – знакомство с такими важными геометрическими фигурами, как треугольники, многоугольники и многогранники.

В теме дается определение треугольника, как части плоскости, рассматриваются виды треугольников в зависимости от длин его сторон, а также виды треугольников в зависимости от величин их углов. Вводятся такие понятия, как медиана, биссектриса, средняя линия, периметр, правильных многоугольников, выпуклых и невыпуклых многоугольников.

В подготовительном плане такие важные свойства треугольников, как сумма углов треугольника, теорема Пифагора.

Повторение (6 часов)

В течение всего ушедшего века выдающиеся математики, педагоги и методисты решали одну из сложнейших проблем теории обучения математике в средней школе – как эффективно построить и преподать школьный курс геометрии. Тем не менее они вошли в XXI в, так и не решив ее до конца.

Попытаемся сформировать те вопросы, ответы на которые следует дать, чтобы решить проблему обучения геометрии, по крайней мере, в этом веке.[5; с.4-8]

1. Какой геометрический материал должен сопровождать ребенка в дошкольном возрасте и в начальной школе?

Этот вопрос волновал специалистов на протяжении всего XX в, но к сожалению, удалось сделать не так уж много. Да, были предложены интересные концепции знакомства детей пяти – восьми лет с миром геометрии. Однако в данный момент невозможно четко выделить требования к знаниям, умениям, представлениям, которые дети получают при изучении геометрического материала к концу начальной школы. В целом в начальной школе о многом шла речь, но что осталось у ребенка и на что можно опереться в последующем обучении – остается не ясным. Следует четко обозначить пусть то немногое, что должно быть сделано в начальной школе.

2. Каковы цели изучения геометрического материала в V – VI классах?

Наблюдения и практика работы многих методистов-математиков показали, что попытка создать единый курс математики для V – VI классов не увенчалась успехом. Это в первую очередь относится к содержанию геометрической части курса, так и к стыковке геометрического и числового материалов.

Главная проблема состоит в том, что для этого возраста необходимо создать специальный курс геометрии, соответствующий огромной активности и большим возможностям, присущим ученикам V – VI классов.

3. Какими должны быть содержание и методика углубленного курса геометрии? С какого возраста (с какого класса) должно начинаться такое углубленное изучение геометрии?

При ответе на поставленные вопросы следует начать с некоторых общих суждений.

Любой из существенных на данный момент учебников геометрии, если в нем четко не выделен обязательный для всех учащихся учебный материал, можно отнести к углубленному изучению, особенно если учесть, что при этом приходится определенное количество задач, которые, как правило, посильны не для всех.

Большая ошибка заключается в том, что у нас часто углубленное изучение геометрии связывают с работой специализированных школ и классов и при этом забывают, что на подавляющей части территории России нет возможности открывать такие школы и классы: просто нет квалифицированного учителя математики.

Нужна хорошая учебная книга – учебник, который бы содержал и необходимый минимум для всех, и материал для продвинутого обучения, так как рассчитывать, что ученик купит разные книги в зависимости от своего уровня развития, просто не приходится.

До недавнего времени всякое углубленное изучение формально начиналось в X классе и продолжалось два года. В настоящее время углубленное изучение геометрии часто начинается в VIII классе. В дополнительных нами учебниках для V – VII классов есть материал от минимального уровня, посильного каждому, до достаточно высокого уровня продвинутого обучения. Начиная с VIII класса, будет две версии учебников: одна для массового обучения и одна для углубленного, где на геометрию выделяется дополнительное учебное время.

4. Разумно ли изучать геометрию на абстрактном формализованном уровне в отрыве от процессов познания окружающего мира?

Прежде всего следует определить свое отношение к проблеме знакомства учащихся с идеями аксиоматического метода. Действующие учебники по геометрии содержат серьезную аксиоматику правда, как ею должен пользоваться и учитель, и ученик, остается неясным.

Что же касается взаимосвязей изучения курса геометрии и познания окружающего мира, то лучше, чем популяризатор математических и естественно-научных знаний Я.И. Перельман, об этом не скажешь: «Какой, в самом деле, интерес может представлять для учащегося изучение формальной геометрии? Почти никакого – главным образом потому, что ему непонятна цель ее изучения…»

5. Следует ли по-прежнему в школе вначале долго изучать планиметрию и лишь в двух старших классах переходить к изучению пространства?

Вопрос этот имеет большую историю, и ответ на него совершенно не очевиден. Рассмотрим некоторые методологические аспекты.

Прежде всего следует исходить из того, что вокруг нас нет ни одного плоского объекта. Все в нашем мире трехмерно, все школьные дисциплины изучают пространственные объекты и процессы. Но кто же тогда разделил геометрию на две части: планиметрию и стеометрию? И зачем?

Хорошо известно, что Евклид в своих «Началах». Вместе с тем исторически доказано, что Евклид никогда не считал свои «Начала» учебником по геометрии для начинающих и полагал, что эту книгу должны читать люди, которые уже изучали геометрию ранее.

Тем не менее многие столетия в школах мира, это относится и к России, «изучают геометрию по Евклиду».

6. Приводит ли существующая система изучения геометрии в школе «ум в порядок»?

Со школьной парты мы помним знаменитые слова М.В. Ломоносова: «Математику уже потому учить нужно, что она ум в порядок приводит». При осмыслении этого высказывания возникает много вопросов: что мы знаем про ум? Что мы умеем «делать с умом»? Что значит «порядок ума»? Как следить за этим порядком? и т.д. Отвечать на эти вопросы трудно, т.к. в психологии они еще слабо проработаны. Но это надо делать не только в области психологии, но и в области методов обучения математике вообще и геометрии в частности.

Все понимают, что без учета психологических закономерностей развития личности школьника добиться успехов в обучении математике невозможно. Научные исследования в этом направлении пока не в полной мере раскрывают тайны, связанные с проявлениями умственной деятельности учащихся. Однако они позволяют уяснить сущность аналитико-синтетического мышления и использовать его закономерности в построении школьного курса геометрии.

7. Как же излагают авторы школьных учебников по геометрии доказательства теорем? Как учителя должны учить рассуждать и доказывать на уроках геометрии?

Казалось бы, ответы на эти вопросы достаточно понятны, и уж, безусловно, смешно учить авторов школьных учебников рассуждать и доказывать.

Мы перечислили далеко не все серьезные проблемы, которые на рубеже тысячелетий остаются нерешенными и волнуют всех, кто связан с преподаванием геометрии. Не надо думать, что мы негативно относимся ко всему созданному, ко всему накопленному, ко всему сделанному в области математического образования. Просто хочется, сохранив достижения и опыт, эффективно двигаться вперед. Именно это заставило нас взяться за очень тяжелую, может быть непосильную работу по написанию нового курса школьной геометрии.