Перехідний процес кола, в якому діє вимушуюча синусоїдна ЕРС

Задачу перехідного процесу такого кола розв'язуємо за тим самим алго­ритмом (наведеним в 3.3), що й для кіл зі сталими ЕРС. Покажемо хід розв'язання такої задачі на числовому прикладі.

Приклад 3.1. Електричне коло, схема якого зображена на рис. 3.10, а, має такі параметри: r ₁ = 20 Ом, r ₂ = 5 Ом, r ₃ = 10 Ом, L = 64 мГн. В схемі діє ЕРС В, частотою f = 50 Гц. В момент часу t = 0, коли струм в котушці буде мати позитивне найбільше значення, вмикається вимикач В. Розрахувати всі струми та напруги перехідного процесу.

Для узгодження моменту вмикання вимикача з часом зміни ЕРС за заданої умови, що , необхідно знати початкову фазу ЕРС . Для цього коло розглянемо до комутації й визначимо струм в котушці i_L (t).

тут Ом.

Тоді

(3.59)

При

чи

звідки

Отже,

1. Початкові умови: струм у котушці в момент комутації:

А

2. Проводимо комутацію й складаємо повну систему диференційних рівнянь скомутованого кола: p + s = 3+4 = 7. Кількість невідомих, які треба знайти, теж 7:

(3.60)

Одержану систему рівнянь (3.60) зведемо до однієї невідомої i _L. Отримаємо

(3.61)

3. Розрахуємо вимушену складову струму .

а) спочатку знайдемо із рівняння (3.61). Для цього рівняння (3.61) запишемо в символічному вигляді:

Звідки

а його миттєве значення:

б) Вимушену складову i_L' визначимо ще безпосередньо із скомутованої схеми, розв'язуючи задачу усталеного режиму. Струм у нерозгалуженій частині кола

Напруга на паралельній ділянці кола

Струм в котушці

та його миттєве значення

4. Вільну складову струму знаходимо з рівняння (3.61), якщо його праву частину прирівняти до нуля:

Його характеристичне рівняння

Звідки

Стала часу с. Тривалість перехідного процессу

с.

Покажемо, що характеристичне рівняння можна одержати з виразу ком­плексу вхідного опору схеми:

куди замість підставимо і прирівняємо до нуля: звідки

Вимушена складова струму, відповідно до (3.27), буде

Повний струм котушки перехідного процесу:

5. Стала інтегрування А визначається з початкових умов: при t =0, . Отже, маємо

звідки

Остаточно перехідний струм котушки є таким:

3.Решту величин перехідного процесу знаходимо із системи рівнянь (3.60) або безпосередньо із схеми скомутованого кола (рис. 3.10, а).

7. На рис. 3.10, б побудовані криві залежностей i_L (t) та u_L (t).

Перехідний процес в електричному колі після комутації проявляється вільною складовою i_L" (чи i_C"), яка виникає за рахунок магнетної енергії в котушці W _M = 1/2 Li_L² (чи електричної енергії конденсатора W_E = 1/2 Сu_C²). Якщо комутацію провести в момент часу, коли струм в котушці відсутній: i _L(0) = 0, W _M = 0 (чи напруга на конденсаторі відсутня u_C (0) = 0, w _E = 0), то відразу настане усталений режим. В наведеному вище прикладі, при послідовному сполученні нескомутованого кола, як випливає з (3.59), усталений режим настане відразу за умови, що початкова фаза ЕРС . При цьому

і стала інтегрування A=0.

Найбільше значення вільна складова буде мати, коли комутація здійснюється в момент часу, при якому струм в котушці буде мати максимальне значення, для наведеного прикладу, якщо чи . В цей момент в котушці буде максимальний запас енергії:

Аналогічні висновки можна навести для кола з конденсатором. Вільна складова напруги на конденсаторі u_С" тут вже визначається запасом електричної енергії конденсатора в момент комутації.

Приклад 3.2. Розглянемо електричну схему з двома реактивними елементами (L і С, n=2) (рис. 3.11), r ₁ = r ₃ = 10 Ом, L ₁= 0, 1 Гн, С = 200 мкФ. До схеми прикладена ЕРС частотою f = 50 Гц. В момент часу (t = 0), при якому струм котушки I_L = 0, 5 І_Lmax має позитивне значення і наростає, вмикається вимикач. Розрахувати перехідний процес в електричному колі й визначити , , та .

Задачу розв'яжемо згідно з алгоритмом, наведеним в п. 3.3.

Для погодження моменту вмикання вимикача з часом зміни ЕРС за заданої умови, що необхідно знайти початкову фазу ЕРС . Для цього коло розглядаємо до комутації й визначаємо струм в котушці

Попередньо визначаємо:

Із трикутника опорів (рис. 3.12) знаходимо:

При

Тоді

Або

звідки

Отже, ЕРС

1. Визначаємо початкові умови: струм в котушці й напругу на конденсаторі в момент комутації.

Рис. 3. 13. Значення е(0), i_L(0) та и_с (0) для схеми (рис. 3.11) в момент комутації

Отже, i_L (0) = 8, 5 А, u_C(0)= -235 В.

На рис. 3.13 зображені e(t), u_C(t), i_L (t) при t < 0, та їх величини в момент комутації (i_L (0), u_C (0)).

2. Проведемо комутацію і для скомуто-ваного кола складемо повну систему диференційних рівнянь:

p + s = 3 + 4 = 7. Кількість невідомих, які тре­ба визначити: i ₁, i ₂, i ₃, u ₁, u ₂, u _– теж 7.

(3.62)

Одержану систему рівнянь (3.62) зведемо до двох невідомих , а решту

невідомих вилучимо, одержимо:

(3.63)

Згідно з (3.20) маємо: i_L = i_L' + i_L";

u_C = и_C' + и_C".

3. Розрахуємо вимушені складові (i_L' та и_C') величин перехідного процесу.

а)За системою рівнянь (3.63).

Оскільки прикладена до кола вимушуюча ЕРС є синусоїдною функцією часу, то й струм и_C' та напруга и_C' теж будуть синусоїдними й, відповідно, відо­бражатимуться комплексними величинами:

Відобразивши рівняння (3.63) для усталеного режиму комплексними чис­лами, одержимо:

(3.64)

Підставимо числові значення в (3.64):

Розв'язавши цю систему рівнянь, одержимо вимушені складові величини перехідного процесу:

їх миттєві значення

(3.65)

б) Вимушені складові i_L' та и_C' можна визначити безпосередньо за схе­мою скомутованого кола. Вважаючи, що перехідний процес вже відбувся, мож­на прийняти, що і_L'' = 0, и_C" = 0, а і_L= і_L', и_C= и_C'. Визначимо та .

Повний опір схеми:

Отже, маємо ті самі значення, що і в п. (а)(3.65):

4. Визначимо вільні складові величини перехідного процесу i_L" та и_C". Для цього праву частину рівнянь (3.63) прирівняємо до нуля, одержимо:

(3.66)

Система рівнянь (3.66) відповідає схемі, зображеній на рис. 3.14. Струми, які виникають в цій схемі, зумовлені запасом магнетної енергії котушки (W_M =Li²_L (0) /2) та запасом електричної енергії конденсатора (We =Cu²_C (0) /2) в момент комута­ції, тобто при t = 0.

Характеристичне рівняння системи (3.66) матиме такий вигляд:

Підставимо числові значення, одержимо:

і після спрощення

Корені останнього рівняння є такі:

Вільні складові величини i _L" та u _C" згідно з (3.29) запишуться так:

(3.67)

Повний струм котушки (i _L) та напруга конденсатора (u _C) з врахуванням (3.65) та (3.67) будуть:

(3.68)

5. Визначимо сталі інтегрування згідно з системою рівнянь (3.31).

Підставивши значення початкових умов в рівняння (3.68), одержимо:

або після спрощення:

(3.69)

Візьмемо першу похідну величин i_L та u_C, відповідно до (3.68) отримаємо:

(3.70)

Обчислимо значення величин виразів (3.70) при t=0. Значення знайдемо із системи рівнянь (3.63). Одержимо:

Підставляючи ці значення (при t = 0) в (3.70), отримаємо

або після спрощення:

(3.71)

Розв'язуючи сумісно систему рівнянь (3.69) та (3.71), одержимо сталі інтегрування:

Тепер струм в котушці та напруга на конденсаторі остаточно матимуть такі значення:

(3.72)

3. Визначимо решту величин перехідного процесу. Це можна здійснити за системою рівнянь (3.62) або за схемою скомутованого кола.

6. На рис. 3.15 зображений графік залежності i _L(i) відповідно до 3.72.

Основна література:

1. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Ч.1. Линейные электрические цепи. – М.: Энергия, 1981.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи: Учебник для вузов. – М.: Высш. шк., 1984.
3. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Ч.1, 2. – М.: Энергия, 1981.
4. Основы теории цепей: Учебник для вузов/Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. – М.: Энергоатомиздат, 1989.

Додаткова література:

1. Малинівський С.М. Загальна електротехніка: Підручник. – Львів: Видавництво “Бескид Біт”, 2003.
2. Сборник задач по теории электрических цепей/Под ред. П.А. Ионкина. – М.: Энергоатомиздат, 1989.
3. Татур Т.А., Татур В.Е. Установившиеся и переходные процессы в электрических цепях: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. школа, 2001.
4. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. – М.: Высш. школа, 1998.