Класичний метод аналізу перехідних процесів

Цей метод полягає в тому, що для будь-якого лінійного скомутованого електричного кола, для миттєвих значень струмів та напруг складаємо повну систему лінійних диференційних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Розв'язавши цю систему диференційних рівнянь, одержуємо миттєві значення струмів у вітках i (t)та напруги на елементах кола и (і).

Для будь-якої скомутованої схеми, в якій необхідно визначити змінні величини перехідного процесу (струми у вітках і напруги на елементах схеми), можна скласти р + s незалежних рівнянь для миттєвих значень струмів і напруг. За першим законом Кірхгофа для вузлів маємо (q – 1) незалежних рів­нянь, за другим законом Кірхгофа для контурів маємо п незалежних рівнянь і зв'язок між і та и для окремих елементів схеми дає s рівнянь. Тут q, p, n, s – відповідно кількість вузлів, віток, контурів і пасивних елементів (r, L, С) в схемі.

Усіх незалежних рівнянь, складених для скомутованого кола, буде: (q – 1) + п + s = (q – 1) + (р – (q – 1)) + s = p + s. Кількість невідомих величин перехідного процесу: р – струмів у вітках, s – напруг на пасивних елементах схеми, і разом: р + s. Отже, кількість невідомих і кількість рівнянь – однакові, а значить, задача розв'язується однозначно. Вигляд рівнянь такий:

………………. (q –1) – рівнянь;

…………………(n) – рівнянь;

;

;

; – рівнянь

;

.

Для прикладу розглянемо схему (мал. 3.4, а), в якій в момент часу вмикається вимикач і шунтує опір . Після комутації схема набирає вигляду, зображеного на (мал. 3.4, б). Складемо для неї систему диференційних рівнянь для миттєвих значень струмів та напруг .

;	(3.14)
;	(3.15)
;	(3.16)
	(3.17)

Кількість величин перехідного процесу: що відповідає ; і кількість рівнянь, складених для схеми: ; в цій схемі вузлів немає.

Кількість рівнянь, складених для скомутованого кола, можна скоротити до кількості реактивних елементів, наявних в схемі. Для цього підставимо (3.15) і (3.16) в (3.14) і, враховуючи, що , одержимо:

;	(3.18)
;	(3.19)

Рівняння (3.18) та (3.19) – це два рівняння з двома невідомими: та . Струм у котушці () і напруга на конденсаторі () є визначальними величина­ми перехідного процесу. Якщо вони будуть знайдені, то інші змінні легко визначаються із рівнянь (3.14)-(3.17) або за схемою (рис. 3.4, б). Тому надалі, розв'язуючи задачі перехідного процесу, із повної системи диференційних рівнянь ((3.14)-(3.17)) бажано вилучити всі невідомі, за винятком струмів в індуктивностях () та напруг на ємностях (), і в остаточному результаті одержимо стільки рівнянь, скільки реактивних елементів має схема.

Система рівнянь (3.18), (3.19) є системою лінійних (з постійними коефі­цієнтами) диференційних неоднорідних (з правою частиною) рівнянь. Із мате­матики відомо, що повне розв'язання такої системи рівнянь знаходять у вигляді суми часткового розв'язання неоднорідних рівнянь (з правою частиною) – ви­мушених складових величин перехідного процесу (, ), і загального розв'язання відповідних однорідних рівнянь (без правої частини) – вільних складових величин перехідного процесу (, ):

= + ; = + .

(3.20)

Знаходження вимушених величин перехідного процесу (, ). Вимушені складові перехідних величин змінюються в часі за законом зміни зовнішніх вимушуючих сил (напруги чи ЕРС). Ці величини знаходять як часткове розв'язання диференційних рівнянь (3.18), (3.19) з правою частиною:

; .

(3.21)

що відповідають схемі (рис. 3.4, в). Оскільки в правій частині системи рівнянь (3.21) є напруга (чи ЕРС) джерела (зовнішня вимушуюча сила), то часткове розв'язання (знаходження та ) одержується із аналізу усталеного режиму кола після комутації (якщо після комутації, коли перехідний процес уже пройшов). Тому цей режим називають вимушеним і відповідно струми й напруги називають вимушеними складовими и просто , . Розрахунок вимушених складових при постійних чи синусоїдних ЕРС нескладний і проводиться відомими вже нам методами.

Знаходження вільних величин перехідного процесу ( та ). Систему однорідних диференційних рівнянь відносно та одержують із (3.18) та (3.19), прирівнявши їх праві частини до нуля:

;	(3.22)
,	(3.23)

фізично це означає, що досліджуване коло не має зовнішніх джерел електрич­ної енергії, і процеси, що відбуваються в такому колі, проходять за рахунок запасу енергії, яка була в початковий момент часу в електричному й магнетному полях даного кола. Оскільки в електричних колах завжди відзначається розсіювання енергії, то запас енергії, яким коло володіло в початковий момент, з часом буде вичерпаний, й електромагнетні процеси в такому колі перестануть існувати. Тому можна стверджувати, що електричні та магнетні величини – струми, напруги, магнетні потоки, які визначаються із системи рівнянь (3.22), (3.23), без правої частини з плином часу загасають за експонентою й прямують до нуля. Ці складові, які зникають з плином часу, називають вільними величинами. Отже, струми і напруги, знайдені при розв'язанні однорідних диференційних рівнянь (3.22), (3.23), називають вільними складовими (, чи просто , ). Отже, вільні складові струмів та напруг виникають в схемі за рахунок запасу магнетної енергії в котушках (W _M= ) і електричної енер­гії в конденсаторах (W _E= ), які мають певне значення в момент комута­ції при t =0, і створюють ЕРС самоіндукції – e _L та ЕРС конденсатора – e _C (рис. 3.4, г).

Продиференціюємо по t рівняння (3.22) і замість (du _C/ dt) підставимо його значення з рівняння (3.23). Тоді одержимо одне рівняння з одним невідомим :

.

(3.24)

У загальному вигляді для схеми з n – реактивними елементами рівняння (3.24) запишеться так:

,

(3.25)

де – вільна складова перехідного процесу струму () чи напруги ().

Порядок (n) рівняння (3.25), до якого можна привести повну систему диференційних рівнянь даного кола, завжди дорівнює кількості наявних в колі реактивних елементів (L і C): якщо котушки з'єднані послідовно – їх вважають однією котушкою, а конденсатори, з'єднані паралельно, – одним конденсатором.

Класичний метод розв'язання лінійного однорідного диференційного рів­няння (3.25) відомий з математики. Записуємо його характеристичне рівняння

(3.26)

і знаходимо корені цього рівняння: , , …, .

Залежно від характеру коренів характеристичого рівняння (3.26) розв'я­зання (3.25) одержується такого вигляду (запишемо для n =3):

а) корені дійсні, різні, від'ємні:

;

Тоді

;

(3.27)

б) корені дійсні, від'ємні й кратні, тобто

,

тоді

(3.28)

в) два корені і комплексно спряжені, а один дійсний, від'ємний:

,

тоді

,

(3.29)

де A ₁, A ₂, A ₃, та A, , A ₃– сталі інтегрування.

Сталі інтегрування A ₁, A ₂, A ₃, та A, , A ₃ визначаються з початкових умов () та значень похідних величин в момент комутації: та .

Характеристичне рівняння (3.26) можна одержати й іншим шляхом – безпосередньо з електричної схеми. Для цього необхідно визначити комплекс вхідного опору схеми і прирівняти його до нуля, підставивши замість величину :

(3.30)

Одержане рівняння буде повністю відповідати характеристичному рів­нянню (3.26).

Дійсні частини коренів характеристичного рівняння (3.26) чи (3.30) завжди від’ємні. Вільний процес в колі без зовнішніх джерел електричної енергії (напруги чи ЕРС) описується складовими і не може проходити як завгодно довго, тому що в колі немає джерел енергії, які б покривали затрати енергії в опорах на тепло, тому вільні струми () загасають в часі. Процес буде зага­саючим тільки тоді, коли дійсні корені характеристичного рівняння чи дійсні частини комплексних коренів є від'ємні:

; чи .

Знаходження сталих інтегрування. При складанні однорідних диференційних рівнянь ((3.22), (3.23) чи (3.24)), які описують вільний процес в електричному колі, ми відкидали ЕРС джерела енергії. Отже, загальні вирази для вільних складових ( чи ) не залежать від того, як виникло коло і які ЕРС діють в схемі. Тому сталі інтегрування повинні бути підібрані так, щоб узгоди­ти загальний розв'язок системи диференційних рівнянь з початковими умовами ( і ) та з діючими в схемі ЕРС.

Кожна перехідна величина ( чи )має сталих інтегрування ( – порядок диференційного рівняння). Враховуючи, що кількість перехідних струмів і напруг дорівнює , то загальна кількість сталих інтегрування є: .

Для знаходження сталих інтегрування будь-якої перехідної величини необхідно визначити значення цієї величини й всіх її () похідних в момент комутації (при ), тобто визначити такі значення:

= + ;

;

; -рівнянь (3.31)

…………………………………….

Вищенаведені величини , , визначаються із початкових умов (, ) та повної (3.13) або приведеної до , та (3.18), (3.19) системи рівнянь перехідного процесу.

Якщо користуватись наведеною системою диференційних рівнянь (3.18)-(3.19) відносно та , то сталих інтегрування будемо мати , ( – кількість реактивних елементів схеми).

Якщо вже відомі та , решту величин перехідного процесу найвигідніше визначити через та за системою рівнянь (3.13) чи за схемою скомутованого кола.

На закінчення відзначимо, що основною складністю класичного методу є знаходження сталих інтегрування.

Класичний метод розрахунку перехідних процесів в лінійних електрич­них колах можна звести до такої послідовності:

1. Розглядаємо схему до комутації, з якої визначаємо початкові умови – значення струмів у котушках і напруг на ємностях безпосередньо до комутації: , .

2. Проводимо комутацію і для скомутованого кола складаємо рівнянь для струмів і напруг. Одержану систему рівнянь приводимо до визначальних величин: струмів у котушках () та напруг на конденсаторах ().

3. Знаходимо вимушені складові величин перехідного процесу ()та ( із рівнянь, одержаних в п.2 (при ), або за схемою для усталеного режиму скомутованого кола.

4. Знаходимо вільні складові величини перехідного процесу , , озв'язуючи однорідне диференційне рівняння (3.25).

5. Визначаємо сталі інтегрування.

6. Із системи рівнянь, складених для скомутованого кола або безпосередньо за схемою, знаходимо решту величин перехідного процесу.

7. Будуємо графіки залежностей та величин перехідного процесу
скомутованого кола.

Нижче розглянемо декілька прикладів розв'язання задач перехідного процесу в електричних схемах класичним методом.