Закони комутації

Розглянемо електричне коло (рис. 3.2, а), для якого за другим законом Кірхгофа після вмикання вимикача маємо:

.

(3.1)

Струм I та ЕРС Eможуть набувати тільки скінченні (не нескінченно великі) значення. Приймемо, що струм після вмикання вимикача змінився стрибком, тоді на графіку його зміни (рис. 3.2, б) кут β = 90°, а отже, di/dt, в цей момент часу прямує до нескінченності. Звідси випливає, що напруга на котуш­ці теж нескінченно зростає: u _L = L di/dt → , і як видно з (3.1), не буде виконуватись другий закон Кірхгофа. Отже, допущення про можливість стрибкоподіб­ної зміни струму в котушці суперечить другому законові Кірхгофа. Тому струм в котушці почне змінюватись з того значення, яке він мав у момент комутації, і при його зміні β < 90° (рис. 3.2, в), a di/dt = , де m _i, m _t – масштаби струму та часу. Отже, струм в котушці не може змінитись стрибком, але напруга на індуктивності u _L = L di/dt стрибком змінитись може. Це не суперечить другому закону Кірхгофа.

Рис. 3.2. До пояснення першого закону комутації

Отже, перший закон комутації можна сформулювати так: струм в індуктивності безпосередньо до комутації (i _L(-0)) дорівнює струмові в тій самій ін­дуктивності безпосередньо після комутації (i _L (+0)):

(3.2)

або, іншими словами, струм в котушці стрибком не змінюється. Тут t =(-0) – час безпосередньо до комутації; t = (+0) – безпосередньо після комутації (рис. 3.2, г).

Розглянемо схему (рис. 3.3, а), для якої за другим законом Кірхгофа після вмикання вимикача можемо записати:

Ураховуючи, що струм в колі з конденсатором дорівнює і _с= С du _c /dt, то рівність (3.3) набере вигляд:

(3.4)

Приймемо, що напруга и_с після вмикання вимикача може змінитись стрибком, тоді du_c/dt → і в рівнянні (3.4) ліва сторона не буде дорівнювати правій, тому що ЕРС Е не може бути нескінченно великою. Звідси випливає, що наше припущення про можливість стрибкоподібної зміни напруги на конденсаторі суперечить другому законові Кірхгофа.

Отже, другий закон комутації формулюється так: напруга на конденсаторі безпо­середньо до комутації (и _с(–0)) дорівнює напрузі на цьому ж конденсаторі безпосередньо після комутації (и _с(+ 0)); або, іншими словами, напруга на конденсаторі стрибком не змінюється (рис. 3, 6).

(3.5)

Закони комутації можна одержати ще з таких міркувань. В електричних колах струми та напруги не можуть досягати нескінчено великих значень. Отже, тут миттєва потужність р завжди має скінчене значення. Це означає, що в елементах електричного кола енергія електричного та магнетного полів не мо­же змінюватися стрибкоподібно, й за такої умови потужність р = dW/dt матиме скінченне значення при прямуванні ∆ t до нуля і зміна енергії елементів кола ∆ W = W (+ 0) – W (- 0) прямуватиме до нуля, тобто в границі

Оскільки енергія магнетного поля

W M= l/2l =1/(2 L)

(3.7)

а енергія електричного поля

W E =l/2C = 1/(2 C)

(3.8)

то рівняння (3.6) можна записати через струми та напруги, потокозчеплення котушок та заряди конденсаторів електричного кола ще в такому вигляді: то для індуктивності, ураховуючи (3.6), будемо мати:

аналогічно для ємності:

Рівності (3.9) та (3.11) виражають закони комутації, одержані нами вище (3.2) та (3.5). Рівності (3.10) та (3.12) називають ще узагальненими законами комутації. Отже, закони комутації можна сформулювати ще так: відповідно до (3.9) та (3.10) – струм і потокозчеплення індуктивності в момент комутації за своїми значеннями є незмінні; відповідно (3.11) та (3.12) – напруга та заряд ємності в момент комутації за своїми значеннями теж є незмінні.

Значення струму в котушці й напруги на конденсаторі в момент ко­мутації: i (0) = i _L (-0) = i _L(+ 0) та и _с(0) = и _с(- 0) = и _с (+ 0) називають початко­вими умовами. Якщо до комутації струми в індуктивностях і напруги на кон­денсаторах не дорівнювали нулеві, тобто i _L (-0)≠ 0, и _с(- 0) ≠ 0, то кажуть, що наявні ненульові початкові умови. Коли ж i _L (-0) = 0, и _с(-0) = 0 – то наявні ну­льові початкові умови.