Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности. Критерии согласия

Рассмотрим наиболее часто применяемый в статистической практике критерий согласия Пирсона.

Пусть выборка из генеральной совокупности Х, а предполагаемая функция теоретического распределения. Пусть также по данным выборки построен интервальный вариацион­ный ряд , где число элементов выборки, попавших в интервал . Для каждого интервала вычислим теоретические вероятности попадания случайной величины Х в этот интервал:

.

Числа и называются эмпирическими и теоретиче­скими частотами. Доказано, что при статистика:

имеет распределение (хи – квадрат) с степенями свободы, где число интервалов вариационного ряда, а число параметров, которыми определяется теоретическое распределение.

Нулевая гипотеза в данном случае состоит в том, что функцией распределения случайной величины Х (в генеральной совокупности) является выбранная теоретическая функция.

Для заданного уровня значимости и найденного количества степеней свободы по таблицам критических точек распределения находим значение , а по приведенной выше формуле находим наблюдаемое значение критерия .

Нулевая гипотеза принимается, если , В противном случае говорят, что данные наблюдений дают основание отвергнуть нулевую гипотезу.

Заметим, что критерий Пирсона следует применять только при достаточно больших объемах выборки: .

ПРИМЕР: Пользуясь критерием Пирсона, при прове­рить нулевую гипотезу о нормальности распределения генеральной совокупности, если по выборке объемом 50 получен интервальный вариационный ряд представленный в таблице:

	[-2, 0; -1, 2)	[-1, 2; -0, 4)	[-0, 4; 0, 4)	[0, 4; 1, 2)	[1, 2; 2, 0)

Построим гистограмму выборочного распределения (рис. 2.7). По ее виду можно предположить, что случайная величина распределена по нормальному закону.

Вычислим выборочные среднюю и дисперсию:

.

Затем найдем теоретические частоты попадания в интервалы по формуле:

.

Для удобства вычислений составим таблицу, где: .

	-2, 0 -1, 2 -0, 4 0, 4 1, 2 2, 0	-2, 13 -1, 23 -0, 34 0, 55 1, 45 2, 34	-0, 4834 -0, 3907 -0, 1331 0, 2088 0, 4265 0, 4904	[-2; -1, 2) [-1, 2; -0, 4) [-0, 4; 0, 4) [0, 4; 1, 2) [1, 2; 2, 0)		4, 64 12, 88 17, 10 10, 88 3, 20	0, 399 0, 274 0, 889 1, 384 1, 012
		48, 7	3, 958

В последней строке последнего столбца таблицы располагается наблюдаемое значение критерия Пирсона . По таблице критических точек для уровня значимости и числа степеней свободы находим критическую точку . Поскольку , данные наблюдений не дают оснований отверг­нуть нулевую гипотезу. Следовательно, с уровнем доверия 0, 95 можно считать, что генеральная совокупность имеет нормальное распреде­ление.

Рекомендуемая литература по теме 2.3: [1 ÷ 4].

ВОПРОСЫ для самопроверки знаний по теме 2.3:

1. Как связаны вероятность ошибки первого рода и уровень доверия?

____________________________________________________________

2. Как связаны вероятность ошибки второго рода и мощность критерия?

____________________________________________________________

3. В какие области попадает наблюдаемое значение критерия при принятии и непринятии нулевой гипотезы?

4. Какого вида бывают критические области?

5. Какой критерий используется для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних?

____________________________________________________________

6. Какой критерий используется для проверки гипотезы о равенстве генеральных дисперсий?

____________________________________________________________

7. Какой критерий используется для проверки гипотезы о законе распределения генеральной совокупности?

____________________________________________________________