Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
|
|
Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка:
, (13.11)
где 
и 
— постоянные действительные числа. Чтобы найти общий интеграл этого уравнения необходимо решить так называемое характеристическое уравнение:
(13.12)
Корни данного квадратного уравнения:
и 
(13.13)
Возможны следующие случаи:
1. 
и 
— действительные числа, которые не равны между собой. Общий интеграл имеет вид:
. (13.14)
2. и — комплексные числа. Так как комплексные корни входят попарно сопряженными, то обозначим: 
; 
.
где 
, 
. Общее решение уравнения (12.11) в случае комплексных корней характеристического уравнения имеет вид:
(13.15)
где 
и 
— произвольные постоянные.
3. и — действительные равные числа. Общим интегралом будет функция:
(13.16)
Пример 13.3.
Дано уравнение 
. Найти общий интеграл.
Решение:
Характеристическое уравнение имеет вид:
Найдем корни характеристического уравнения:
.
Общий интеграл есть:
|
|