Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Однородные уравнения первого порядка






    Определение 12.7. Функция называется однородной функцией го измерения относительно переменных и , если при любом справедливо тождество:

    (12.19)

    Пример 12.6.

    Функция есть однородная функция второго измерения, поскольку .

    Пример 12.7.

    Функция есть однородная функция нулевого измерения, поскольку , т.е. справедливо выражение .

    Определение 12.8. Уравнение первого порядка

    (12.20)

    называется однородным относительно и , если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно и .

    Решение однородного уравнения:

    По условию . Положив в этом тождестве , получим:

    , (12.21)

    т. е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов. Уравнение (11.20) в этом случае примет вид:

    (12.22)

    Сделаем подстановку:

    , т. е. .

    Тогда будем иметь:

    Подставляя полученное выражение в уравнение (11.22), получим:

    (12.23)

    Это – уравнение с разделяющимися переменными:

    или .

    Интегрируя, найдем:

    (12.24)

    Подставляя после интегрирования вместо отношение , получим интеграл уравнения (12.22).

    Пример 12.8.

    Дано однородное уравнение: .

    Решение:

    Разделим левую и правую часть данного уравнения на , получим:

    (12.25)

    Сделаем замену . При этом:

    . (12.26)

    Из уравнения (12.25) следует:

    (12.27)

    Подставим в последнее выражение уравнение (12.26):

    Отсюда:

    Проинтегрировав левую и правую части, получим:

    (12.28)

    Запишем последнее выражение с учетом того, что

    Или:






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.