Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Определение дифференциального уравнения






    Определение 12.1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и ее производные.

    Определение 12.2. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным (ОДУ).

    Общий вид ОДУ:

    (12.9)

    Или:

    (12.9)

    Определение 12.3. Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то дифференциальное уравнение содержит частные производные, поэтому называется дифференциальным уравнением в частных производных.


    Определение 12.4. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

    Пример 12.2.

    — ДУ первого порядка.

    — ДУ второго порядка.

    — ДУ третьего порядка.

    Определение 12.5. Решением или интегралом ДУ называется всякая функция , которая будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

    Общее решение ДУ го порядка:

    (12.10)

    Определение 12.6. Частным решением ДУ называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .

    Для нахождения частного решения ДУ го порядка в общем случае требуется задать дополнительных условий (условий Коши).

    Пример 12.3.

    Общее решение ДУ имеет вид: . Начальное условие . Найти частное решение.

    Решение:

    . Отсюда . Таким образом, частное решение имеет вид:

    Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия

    Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

    (12.11)

    Если данное уравнение можно разрешить относительно , то его можно записать в виде:

    (12.12)

    Общим решением ДУ первого порядка называется функция .

    Теорема 12.1. Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области на плоскости , содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения , удовлетворяющее начальному условию при .

    Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует одна функция , график которой проходит через точку .

    График каждого частного решения называется интегральной кривой. Поэтому общее решение, содержащее все частные решения, представляет собой семейство интегральных кривых (см. рис. 12.1). В случае уравнения первого порядка это семейство зависит от одной произвольной постоянной.

    Задача нахождения решения уравнения (11.12), удовлетворяющего условию Коши, называется задачей Коши — из множества интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку области .

    В процессе поиска общего решения ДУ мы можем прийти к соотношению:

    , (12.13)

    которое неразрешимо относительно . Выразить из соотношения (12.13) в элементарных функциях не всегда удается. В таком случае решение оставляют в неявном виде. При этом выражение (12.13) называется общим интегралом ДУ.






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.