Определение дифференциального уравнения

Определение 12.1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и ее производные.

Определение 12.2. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным (ОДУ).

Общий вид ОДУ:

(12.9)

Или:

(12.9)

Определение 12.3. Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то дифференциальное уравнение содержит частные производные, поэтому называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение 12.4. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Пример 12.2.

— ДУ первого порядка.

— ДУ второго порядка.

— ДУ третьего порядка.

Определение 12.5. Решением или интегралом ДУ называется всякая функция , которая будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

Общее решение ДУ го порядка:

(12.10)

Определение 12.6. Частным решением ДУ называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .

Для нахождения частного решения ДУ го порядка в общем случае требуется задать дополнительных условий (условий Коши).

Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer

Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM. SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием. Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.

Что умеет делать SeoHammer

— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.

SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.

Зарегистрироваться и Начать продвижение

Пример 12.3.

Общее решение ДУ имеет вид: . Начальное условие . Найти частное решение.

Решение:

. Отсюда . Таким образом, частное решение имеет вид:

Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

(12.11)

Если данное уравнение можно разрешить относительно , то его можно записать в виде:

(12.12)

Общим решением ДУ первого порядка называется функция .

Теорема 12.1. Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области на плоскости , содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения , удовлетворяющее начальному условию при .

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует одна функция , график которой проходит через точку .

График каждого частного решения называется интегральной кривой. Поэтому общее решение, содержащее все частные решения, представляет собой семейство интегральных кривых (см. рис. 12.1). В случае уравнения первого порядка это семейство зависит от одной произвольной постоянной.

Задача нахождения решения уравнения (11.12), удовлетворяющего условию Коши, называется задачей Коши — из множества интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку области .

В процессе поиска общего решения ДУ мы можем прийти к соотношению:

, (12.13)

которое неразрешимо относительно . Выразить из соотношения (12.13) в элементарных функциях не всегда удается. В таком случае решение оставляют в неявном виде. При этом выражение (12.13) называется общим интегралом ДУ.

Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте

Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:
— Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
— Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
— Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
— Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
— Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
— Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
— Включает в себя сервис чаевых.

Для новых пользователей первый месяц бесплатно.

Зарегистрироваться в сервисе