Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Основные методы вычисления неопределенного интеграла






    Пусть требуется найти неопределенный интеграл , причем непосредственно подобрать первообразную не представляется возможным, но известно, что она существует. В этом случае применяются различные методы интегрирования, благодаря которым исходный интеграл можно привести к интегралу табличного вида. Рассмотрим некоторые из этих методов.

    1. Метод непосредственного интегрирования. Используя свойства неопределенного интеграл, а также выполняя элементарные математические преобразования подынтегральной функции, исходный интеграл можно привести к неопределенному интегралу табличного вида.

    Пример 8.2. Найти неопределенный интеграл .

    Используя пятое свойство неопределенного интеграла, вынесем за знак интеграла постоянную 2. Затем, выполняя элементарные математические преобразования, приведем подынтегральную функцию к степенному виду:

    .

    2. Замена переменной. Пусть требуется найти неопределенный интеграл . Сделаем замену в подынтегральном выражении, положив , где — монотонная непрерывная функция, которая имеет непрерывную производную. Тогда . В этом случае имеет следующее равенство:

    (8.9)

    Пример 8.3. Найти неопределенный интеграл , используя метод замены переменной.

    Сделаем замену переменной , тогда . Исходный интеграл примет вид:

    Таким образом, мы получили неопределенный интеграл табличного вида: степенная функция. Используя правило нахождения неопределенного интеграла от степенной функции (см. п.1 в таблице интегралов), найдем:

    Сделав обратную замену, получим окончательный ответ:

    3. Интегрирование по частям. Пусть и — две дифференцируемые функции от переменной . Тогда дифференциал произведения вычисляется по формуле:

    (8.10)

    Интегрируя, получим:

    (8.11)

    Отсюда:

    (8.12)

    Последняя формула называется формулой интегрирования по частям.

    Пример 8.4. Найти неопределенный интеграл , используя метод интегрирования по частям.

    Введем следующие обозначения:

    (8.13)

    Тогда дифференцируя первое выражение и интегрируя второе, получим:

    (8.14)

    Теперь подставив в формулу (8.12) введенные нами обозначения (8.13) и (8.14), получим:

    4. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен.

    Рассмотрим следующие случаи:

    а) В знаменателе интегрируемой функции квадратный трехчлен f(x) = .

    Преобразуем его, выделив полный квадрат.

    .

    Введем обозначение . Таким образом, данный интеграл приобретает вид:

    .

    Сделаем в последнем интеграле замену переменной:

    ,

    Получим:

    . Это – табличный интеграл.

    Пример 8.5.

    Вычислить интеграл:

    б) Подынтегральная функция имеет вид . Произведем тождественные преобразования:

    Таким образом, исходный интеграл можно представить в виде суммы:

    Как вычислять второй интеграл, мы рассмотрели в пункте ; обозначим его через . В первом интеграле сделаем замену переменной:

    ,

    Таким образом:

    Окончательно получим:

    Пример. 7.6

     







    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.