Решение.

Найдем частные производные:

и смешанную производную .

Необходимое условие экстремума: и

Решим систему уравнений x = 2y, 4y – y = -9, y = -3

x = -9

Итак, точка P(-9; -3) критическая точка. Составим выражение и вычислим его значение в критической точке P(-9; -3). Тогда, если , то P- точка экстремума. При этом, если , то Р – точка минимума,

а если , то Р – точка максимума,

Если , экстремума нет, а если - экстремум может быть, а может не быть. Нужны дополнительные исследования.

Установим характер экстремума в точке P(-9; -3).

, следовательно, P(-9; -3)- точка экстремума, а так как независимо от координат точки Р, то P(-9; -3) – точка минимума данной функции.

6.2. Задачи для контрольной работы.

1 – 20.	Дана система линейных уравнений. Требуется показать, что система совместна и найти её решение тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) методом обратной матрицы. Выполнить проверку решения.
1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21 – 40	Методом исключения неизвестных найти общее и базисные решения систем уравнений:
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.
31.	32.
33.	34.
35.	36.
37.	38.
39.	40.
41 – 60.	Найти произведение матриц , если , даны:
41. ,
42. ,
43. ,
44. ,
45. ,
46. ,
47. ,
48. ,
49. ,
50. ,
51. ,
52. ,
53. ,
54. ,
55. ,
56. ,
57. ,
58. ,
59. ,
60. ,
61 – 80.	Даны вершины треугольника , , . Найти: а) уравнения всех трех его сторон; б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны; в) внутренний угол треугольника в градусах и минутах; г) длину высоты, проведенной из вершины ; д) площадь треугольника.

61. ,

62. ,

63. ,

64. ,

65. ,

66. ,

67. ,

68. ,

69. ,

70. ,

71. ,

72. ,

73. ,

74. ,

75. ,

76. ,

77. ,

78. ,

79. ,

80. ,

81-100.	Не пользуясь правилом Лопиталя, найти пределы функций:
81.	а)	б)
82.	а)	б)
83.	а)	б)
84.	а)	б)
85.	а)	б)
86.	а)	б)
87.	а)	б)
88.	а)	б)
89.	а)	б)
90.	а)	б)
91.	а)	б)
92.	а)	б)
93.	а)	б)
94.	а)	б)
95.	а)	б)
96.	а)	б)
97.	а)	б)
98.	а)	б)
99.	а)	б)
100.	а)	б)

101 – 120.

Найти производные следующих функций:

101.

а) ;

б) ;

в) .

102.

а) ;

б) ;

в) .

103.

а) ;

б) ;

в) .

104.

а)

б) ;

в) .

105.

а) ;

б) ;

в) .

106.

а) ;

б) ;

в) ;

в) .

107.

а) ;

б) ;

в) .

108.

а) ;

б) ;

в) .

109.

а) ;

б) ;

в) .

110.

а) ;

б) ;

в) .

111.

а) ;

б) ;

в) .

112.

а)

б) ;

в) .

113.

а)

б) ;

в) .

114.

а) ;

б) ;

в) .

115.

а) ;

б) ;

в) .

116.

а) ;

б) ;

в) .

117.

а) ;

б) ;

в) .

118.

а) ;

б)

в) .

119.

а) ;

б) ;

в) .

120.

а) ;

б) ;

в) .

121-140.

Пользуясь правилом Лопиталя найти пределы функций:

121.

а)

б)

122.

а)

б)

123.

а)

б)

124.

а)

б)

125.

а)

б)

126.

а)

б)

127.

а)

б)

128.

а)

б)

129.

а)

б)

130.

а)

б)

131.

а)

б)

132.

а)

б)

133.

а)

б)

134.

а)

б)

135.

а)

б)

136.

а)

б)

137.

а)

б)

138.

а)

б)

139.

а)

б)

140.

а)

б)

141-160.

Исследовать функцию и построить ее график

141. ;

142. ;

143. .

144. ;

145. ;

146. .

147. ;

148. ;

149. .

150. ;

151. ;

152. .

153. ;

154. ;

155. .

156. ;

157. ;

158. .

159. ;

160. .

161-180.

По условию задачи составить функцию одной независимой переменной и найти ее экстремум. Показать, что этот экстремум и будет наименьшим (наибольшим) значением функции.

161. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Пример (р) фигуры задан. Каковы должны быть размеры прямоугольника, для того, чтобы окно пропускало наибольшее количество света то есть имело наибольшую площадь?

162. На железной дороге, ведущей с юга на север, стоит город В. Завод А расположены на км южнее города В и на км восточнее железной дороги. Под каким углом к железной дороге надо провести шоссе с завода А, чтобы доставка грузов из А в В была самой дешевой, если стоимость перевозок по шоссе в раз дороже, чем по железной дороге?

163. Во сколько раз объем шара больше объема наибольшего цилиндра, вписанного в этот шар?

164. Требуется построить палатку в виде правильной четырехугольной пирамиды. Найти отношение высоты палатки к стороне основания при условии, что при данной площади боковой поверхности объем палатки будет наибольшим.

165. Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, завершенный сверху полушаром. При каких значениях радиуса основания и высоты цилиндра это тело будет иметь наименьшую полную поверхность, если объем его равен v?

166. Имеется 200м железной сетки, которой надо огородить с трех сторон прямоугольную площадку, примыкающую четвертой стороной к длинной каменной стене. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы ее площадь была наибольшей?

167. Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около данного шара радиуса .

168. Кровельщику надо сделать открытый желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобочной трапеции. Дно и бока желоба имеют ширину 10см. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

169. Консервная банка цилиндрической формы с дном и крышкой должна вмещать v см³. Каковы должны быть размеры банки, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее количество материала.

170. В окружность радиуса вписан прямоугольник. Каковы должны быть размеры прямоугольника чтобы площадь его была наибольшей?

171. Каковы должны быть высота и радиус основания конуса с данной образующей , чтобы объем конуса был наибольшим?

172. Найти размеры прямоугольника с наибольшей площадью, вписанного в прямоугольный треугольник, катеты которого и , а один из углов прямоугольника совпадает с прямым углом треугольника?

173. Бак без крышки с квадратным основанием должен вмещать v литров воды. Каковы должны быть размеры бака, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала?

174. Гипотенуза прямоугольного треугольника . Каковы должны быть катеты и , чтобы приметр треугольника был наибольшим?

175. Требуется изготовить ведро цилиндрической формы без крышки, вместимостью 8 куб.ед. Найти высоту и диаметр дна ведра, при которых на его изготовление потребуется наименьшее количество материала.

176. В область, ограниченную параболой и прямой вписан прямоугольник, две стороны которого параллельны оси параболы. Найти стороны прямоугольника, при которых его площадь является наибольшей.

177. В шар радиуса 9 вписан прямой круговой цилиндр. Найти высоту цилиндра, при которой его объем является наибольшим.

178. В шар радиуса вписан прямой круговой конус. Найти высоту конуса, при которой его объем является наибольшим.

179. Площадь прямоугольника равна 9 кв.ед. Найти размеры сторон прямоугольника, при которых его периметр является наименьшим.

180. Прямой круговой конус описан около прямого кругового цилиндра так, что плоскости и центры их оснований совпадают. Радиус основания цилиндра равен 4см, а высота равна 6. Найти радиус основания и высоту конуса, при которых его объем является наименьшим.

181-200.	Найти частные производные и полный дифференциал функции :
181. .	182. .
183. .	184. .
185. .	186. .
187. .	188. .
189. .	190. .
191. .	192. .
193. .	194. .
195. .	196. .
197. .	198. .
199. .	200. .
201-220.	Найти точки экстремума функции двух независимых переменных :
201.	202.
203.	204.
205.	206.
207.	208.
209.	210.
211.	212.
213.	214.
215.	216.
217.	218.
219.	220.

6.3. Таблица распределения задач по вариантам.