случай. Метод Рунге - Кутта четвёртого порядка.

Этот метод также называют классическим методом Рунге - Кутта.

Пусть p =4, c ₁=0, c ₂= c ₃= c ₄=1, d ₁= d ₄= , d ₂= d ₃= . Из рекуррентных формул (1) получим алгоритм решения задачи Коши классическим методом Рунге - Кутта:

(3)

Графиком приближённого решения является ломаная, последовательно соединяющая точки P_i (x_i, y_i) (i =0, 1, …, m). С увеличением порядка численного метода, звенья ломаной приближаются к ломаной, образованной хордами интегральной кривой y=j (x), последовательно соединяющими точки (x_i, j (x_i)) на интегральной кривой.

Правило Рунге практической оценки погрешности решения для численного метода четвёртого порядка имеет вид:

Пример. Решить задачу Коши y^'=x+y, классическим методом Рунге - Кутта на отрезке [0; 0, 4]. Найти решение на равномерной сетке с шагом 0, 1 в четырёх узловых точках.

Решение: Так как f (x, y)= x+y, то согласно формулам (3) получаем

;

;

Полагая x ₀=0, y ₀=1, последовательно находим при i =1:

0, 1(0+0, 05+1+0, 055)=0, 1105

0, 1(0+0, 1+1+0, 1105)=0, 121050

x ₁=0+0, 1=0, 1; y ₁=

при i =2:

=0, 1(0, 1+0, 05+1, 110342+0, 0605171)=0, 1320859

=0, 1(0, 1+0, 05+1, 110342+0, 06604295)=0, 1326385

=0, 1(0, 1+0, 1+1, 110342+0, 1326385)=0, 1442980

x ₂=0, 1+0, 1=0, 2; y ₂= .

Далее получаем при i =3, x ₃=0, 3, y ₃=1, 399717; при i =4, x ₄=0, 4; y ₄=1, 583648.

Погрешность полученного решения не превышает величины