Метод Эйлера. Простейшим численным методом решения задачи Коши (1)-(2) (§20) является метод Эйлера, называемый иногда методом ломаных Эйлера.

Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке P ₀(x ₀, y ₀) есть . Hайдём ординату y ₁ касательной, соответствующей абциссе x ₁= x ₀+ h. Так как уравнение касательной к кривой в точке P ₀ имеет вид то Угловой коэффициент в точке P ₁(x ₁, y ₁) также находится из данного дифференциального уравнения На следующем шаге получаем новую точку P ₂(x ₂, y ₂), причём

Продолжая вычисления в соответствии с намеченной схемой, получим формулы Эйлера для m приближённых значений решения задачи Коши с начальными данными (x ₀, y ₀) на сетке отрезка [ a, b ] с шагом h: (1).

y     P 2 y 2 P 1 y 1 P 0 j (x 2) y 0 j (x 1)     O x 0 x 1 x 2 x

Графической иллюстрацией приближённого решения является ломаная, соединяющая последовательно точки P 0, P 1, P 2, …, Pm, которую называют ломаной Эйлера. Оценим погрешность метода Эйлера на одном шаге. Для этого запишем разложение точного решения задачи Коши в точке x 1 по формуле Тейлора с дополнительным членом в форме Лагранжа:

,

Погрешность метода на одном шаге имеет h ², т.к.

После m шагов погрешность вычисления значения y_m в концевой точке отрезка возрастёт не более чем в m раз. Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством

или представить в виде

, где

Это означает, что метод Эйлера имеет первый порядок точности. В частности, при уменьшении шага h в 10 раз погрешность примерно уменьшится в 10 раз.

Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом , в точке производят с помощью приближённого равенства- правила Рунге:

(2)

где p -порядок точности численного метода. Таким образом, оценка полученного результата по формуле (2) вынуждает проводить вычисления дважды: один раз с шагом h, другой - с шагом .

Пример. Решить задачу Коши методом Эйлера на отрезке [0; 0, 4]. Найти решение на равномерной сетке с шагом h ₁=0, 1, h ₂=0, 05 в четырёх узловых точках. Аналитическое решение задачи имеет вид .

Решение: Здесь m =4, a =0, b =0, 4 Используя рекуррентные формулы x ₀=0, y ₀=1, x_i=x_{i -1}+0, 1; y_i=y_{i -1}+0, 1(x_{i -1}+ y_{i -1}); i =1, 2, 3, 4 последовательно находим

при i =1: x ₁=0, 1; y ₁=1+0, 1(0+1)=1, 1

при i =2: x ₂=0, 2; y ₂=1, 1+0, 1(0, 1+1, 1)=1, 22

при i= 3: x ₃=0, 3; y ₃=1, 22+0, 1(0, 2+1, 22)=1, 362

при i =4: x ₄=0, 4; y ₄=1, 362+0, 1(0, 3+1, 362)=1, 5282

Обозначим , и представим результаты вычислений в таблице:

i	xi	yi(h)	yi	j(xi)		di
	0, 1	1, 1	1, 105	1, 110342	0, 005	0, 005332
	0, 2	1, 22	1, 231012	1, 242805	0, 011012	0, 011793
	0, 3	1, 362	1, 380191	1, 399718	0, 018191	0, 019527
	0, 4	1, 5282	1, 554911	1, 583649	0, 026711	0, 028738

Отметим, что оценка погрешностей решения , вычисляемых по формулам (2), близки к отклонениям d_i и обе величины достигают значения -ошибки метода Эйлера при вычислении с шагом 0, 05. Для сравнения заметим, что погрешность при вычислениях с шагом 0, 1 составляет .