Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей: — Сам записывает клиентов и напоминает им о визите; — Персонализирует скидки, чаевые, кешбек и предоплаты; — Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
Понятие о численном решении задачи Коши.
|
|
Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной имеет вид
(1).
Решением дифференциального уравнения называется функция j (x), подстановка которой в уравнение обращает его в тождество:
График решения 
называется интегральной кривой. Например, решением уравнения 
является функция 
при любом значении произвольной постоянной С.
Задача Коши для дифференциального уравнения (1) состоит в том, чтобы найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию
(2).
Пару чисел 
называют начальными данными. Решение задачи Коши называют частным решением уравнения (1) при условии (2).
       y
y 0
O x 0 x
| пример:
частным решением задачи Коши  является функция  .
Частному решению соответствует одна из интегральных кривых, проходящая через точку .
|
Условия существования и единственности решения задачи Коши содержатся в следующей теореме.
Теорема.Пусть функция f(x, y)-правая часть дифференциального уравнения (1)-непрерывная вместе со своей частной производной в некоторой области D на плоскости. Тогда при любых начальных данных задача Коши (1) - (2) имеет единственное решение.
При выполнении условий теоремы через точку на плоскости проходит единственная интегральная кривая. Будем считать, что условия теоремы существования и единственности выполняются. Численное решение задачи Коши (1)-(2) состоит в том, чтобы искомое решение 
получить в виде таблицы его приближённых значений для заданных значений аргумента x на некотором отрезке (a, b): а=x 0, x 1, x 2, …, xm=b (3).
Точки (3) называют узловыми точками, а множество этих точек называют сеткой на отрезке [ a, b ]. Будем использовать равномерную сетку с шагом h. 
или 
. Приближённые значения численного решения задачи Коши в узловых точках xi обозначим yi; таким образом, 
Для любого численного метода решения задачи Коши начальное условие (2) выполняется точно, то есть 
Величина погрешности численного метода решения задачи Коши на сетке отрезка [ a, b ] оценивается величиной 
, то есть расстоянием между векторами приближённого решения (y 0, y 1, …, ym) и точного решения 
на сетке по m- норме.
Определение. численный метод имеет p - й порядок точности по шагу h на сетке, если расстояние d можно представить в виде степенной функции от h: d = chp, p> 0, где c- некоторая положительная постоянная, зависящая от правой части уравнения (1) и от рассматриваемого метода.
В данном случае очевидно, что когда h cтремится к нулю, погрешность d также стремится к нулю.
|
|