Поняття первісної і невизначеного інтеграла.

Інтегральне числення функцій однієї змінної.

Автори:

Щоголев С. А., доктор фізико-математических наук, професор кафедри вищої математики, доцент

Грибняк С. Т., кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри вищої математики, доцент

Рецензенти.

Попов В. Г. – доктор фізико-математичних наук,

завідуючий кафедрою вищої математики Одеської національної

морської академії, професор

Плотніков А. В. – доктор фізико-математичних наук,

завідуючий кафедрою прикладної та обчислювальної

математики і САПР Одеської державної академії

будівництва та архітектури, професор

Григор’єв Ю. О. – кандидат фізико-математичних наук,

доцент кафедри вищої та прикладної математики

Одеського національного морського університету, доцент

Навчально-методичний посібник написано відповідно до навчальної програми дисципліни «Математичний аналіз» для підготовки бакалаврів, спеціалістів та магістрів за спеціальностями «фізика», «прикладна фізика», «астрономія».

Посібник містить основні поняття, методи, теореми та формули, багато розв’язаних типових задач, а також завдання для самостійної роботи студентів.

Рекомендовано науково-методичною радою ОНУ імени І. І. Мечникова (протокол № 1 от 24.10.2013).

Розділ I.

Невизначений інтеграл.

Поняття первісної і невизначеного інтеграла.

В розділі «Диференціальне числення функцій однієї змінної» ми познайомилися з одним з фундаментальних понять математичного аналізу – поняттям похідної:

.

За даною функцією ми знаходимо її похідну.

В багатьох питаннях науки необхідно розв’язувати обернену задачу: за даною похідною знайти функцію .

З механічної точки зору це можна інтерпретувати, наприклад, так: за миттєвою швидкістю матеріальної точки в момент часу встановити координату точки в цей момент часу.

З’ясовується, що ця задача набагато складніша, ніж задача диференціювання. Більш того, якщо обмежуватись лише елементарними функціями, то вона взагалі може не мати розв’язків. Наприклад, серед елементарних функцій не існує такої, похідна якої дорівнює .

Перейдемо до точних означень.

Означення. Функція називається первісною для функції на інтервалі , якщо диференційовна на , і .

Приклади:

1. Нехай . Тоді . Дійсно, .

2. Нехай . Тоді . Дійсно, .

Помітимо, що для функції первісними будуть також функції , і взагалі будь яка функція вигляду , де – стала. Відповідно для функції первісними будуть всі функції вигляду . Узагальнимо цей факт у вигляді наступної теореми:

Теорема. Якщо функція є первісною для функції на інтервалі , то будь яка функція вигляду , де – стала, також буде первісною для функції на інтервалі .

Доведення дуже просте. Дійсно:

.

Таким чином, задача знаходження первісної розв’язується неоднозначно. Додаючи до будь якої первісної функції сталу величину, ми знову отримуємо первісну, отже одразу знаходимо нескінченну кількість первісних. Виникає питання: чи вичерпується вся множина первісних даної функції додаванням до однієї з них сталої величини. Відповідь дає наступна теорема.

Теорема. Нехай і – будь які первісні функції на інтервалі . Тоді справджується рівність:

.

Доведення. Позначимо . Тоді виконано:

.

Візьмемо два довільні значення такі, що і розглянемо різницю . Згідно з теоремою Лагранжа на інтервалі існує така точка , що буде виконано рівність:

(оскільки ). Отже , тобто значення функції співпадають в двох довільних точках інтервалу . Це означає, що на , що й треба було довести.

З цих двох теорем випливає, що якщо функція на інтервалі має хоч би одну первісну, то функція на цьому інтервалі має безліч первісних, і всі ці первісні відрізняються одна від одної на сталу величину.

Означення. Сукупність всіх первісних функції на інтервалі називається невизначеним інтегралом функції на цьому інтервалі, і позначається символом:

.

При цьому функція називається підінтегральною функцією, а вираз підінтегральним виразом.

Символ було введено Лейбніцем у 1686 році. Цей символ є дещо деформована латинська буква S – перша буква слова Summa. Термін «інтеграл» (від латинського integer – цілий)було запропоновано у 1696 році Йоганном Бернуллі. В приведеному означенні мається на увазі збирання в одне ціле всіх первісних даної функції.

З означення невизначеного інтеграла фактично випливає і формула для його обчислення:

Тобто до будь якої первісної функції треба додати довільну сталу .

На підставі розглянутих вище прикладів, зокрема, випливає:

.

Сформулюємо деякі властивості невизначеного інтеграла:

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

.

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

.

3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цій функції плюс довільна стала:

.

Властивості 1 – 3 по-різному висловлюють той факт, що операція інтегрування є оберненою до операції диференціювання.

4. Сталий множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла:

.

5. Невизначений інтеграл від суми (різниці) двох функції дорівнює сумі (різниці) невизначених інтегралів від цих функцій:

.

Властивості 4, 5 є наслідками відповідних властивостей похідних.

Таблиця інтегралів основних елементарних функцій.

На підставі означення невизначеного інтеграла і таблиці похідних (див. розділ «Диференціальне числення функцій однієї змінної») можна написати відповідну таблицю інтегралів. Щоправда, у цій таблиці будуть міститись деякі формули, які не відображаються таблицею похідних. Ці формули перевіряються безпосереднім диференціюванням. Отже: