Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Аппроксимация посредством многочлена Ньютона




Предположим, что функция f(x), заданная в виде таблицы с постоянным шагом h = xixi–1 (i = 1,2,…, n) может быть аппроксимирована интерполяционным многочленом Ньютона:

. (9)

Дифференцируя (9) по переменной x как функцию сложную:

можно получить формулы для получения производных любого порядка:

;

(10)

Следует заметить, что точность ЧД для выбранного x будет существенно зависеть от значений функции во многих узлах, что не предусмотрено в соотношениях (2) – (4).

Пример. Для функции заданной таблично

x y Dy D2y D3y D4y D5y
1,2833          
0,1 1,8107 0,5274 0,0325 0,0047 0,0002 0,0000
0,2 2,3606 0,5599 0,0372 0,0049 0,0002  
0,3 2,9577 0,5971 0,0421 0,0051    
0,4 3,5969 0,6392 0,0472      
0,5 4,2833 0,6864        

вычислить в точке x = 0,1 первую f '(x) и вторую f "(x) производные. Здесь h=0,1; t = (0,1 – 0)/0,1 = 1. Предварительно вычислим конечные разности для (10).

Используя формулы (10), находим:

y' » 10× (0,5274+((2×1–1)/2)×0,0325+0,0047×(3×1–6×1+2)/6+0,0002×(4×1–

–18×1+22×1–6)/24) = 5,436;

y" » 100× (0,0325+0,0047×(6×1–6)/6+0,0002×(12–36+22)/24) = 3,25.

Замечание. В расчетной практике численного дифференцирования интерполяционные многочлены Ньютона, Гаусса, Стирлинга и Бесселя используются в несколько иной форме, так как формулы ЧД применяют для нахождения производных в равностоящих узлах xi = x0 + ih (i = 0, ±1, ±2, …), то любую точку сетки можно принять за начальную и формулы ЧД записывают для точки x0. А это равносильно подстановке в них t = (x x0)/h = 0. Тогда дифференцирование многочленов приводит к следующим формулам.

По Ньютону:

; (а)

;

; (б)

.

Формулы (а) применяются для начальных строк таблиц, а (б) – для последних строк таблицы. Тогда по Стирлингу:

; (с)

.

Формулы (с) – для дифференцирования в середине таблицы.

Пример. Использование формул (а) и (с) для функции y = sh2x с h = 0,05. Найти y' и y" в точках х = 0,00 и х = 0,1. Возьмем расчетную таблицу для y = f(x) в виде:

x y = f(x) Dу D2у D3у D4у D5у
0,00 0,0000          
           
0,05 0,10017        
         
0,10 0,20134      
       
0,15 0,30452      
         
0,20 0,41075        
           
0,25 0,52110          

Решение. Воспользуемся формулами ЧД на основе интерполяционных многочленов. Составим таблицу конечных разностей. Она продолжилась до разностей 4-го порядка, т.к. дальше получится «0».



Для точки x = 0,0 используем формулы (а), считая х0 = 0,0:

y ' | x = 0,0 » =

= 20 × (0,10017 – 0,00050 + 0,0034 – 0,00001) = 2,0000;

y " | x = 0,0 » =

= 400 × (0,00100 – 0,00101 + 0,00003) = 0,008.

Для точки x = 0,1 используем формулы (c), считая х0 = 0,1:

y ' | x = 0,1 » =

= 20 × (0,10217 – 0,00017) = 2,0400;

y " | x = 0,1 » = 400 × (0,00201 – 0,00000) = 0,804.

Для сравнения приведем точные значения первой и второй производных функции y = sh2x:

y' = 2ch2x:для x = 0,0: y' = 2; а для x = 0,1: y' = 2,0401;

y" = 4sh2x: для x = 0,0: y" = 0; а для x = 0,1: y" = 0,8052.

Интерполяционный многочлен (9) и его интерпретации (Стирлинга, Гаусса) для вычисления производной в середине и в конце отрезка определения f(x) дают выражение для производной через конечные разности . Однако на практике выгоднее иногда выражать значения производных непосредственно через значения yi.



Ответ на этот вопрос дает интерполяционный многочлен Лагранжа для равномерной сетки интерполяционных узлов.

 


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2019 год. (0.005 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал