Равновесие однородной несжимаемой жидкости

Система уравнений равновесия содержит уравнения (1.4.7)— (1.4.9). Уравнение состояния (1.4.9) для однородной несжимаемой жидкости имеет вид . Учитывая это, можно урав­нение (1.4.7) записать в виде

(1.4.26)

т. е. равновесие несжимаемой жидкости возможно только в по­тенциальном силовом поле. Пусть

Тогда из (4.1) и (4.2) следует, что , т. е.

Постоянная интегрирования С находится из условия .Таким образом, давление найдено.

Если массовые силы — силы тяжести, то F_х = F_у = 0, F_z = = — g и потенциал V = gz.. Из формулы (1.4.26) в этом случае получаем гидростатический закон:

Для несжимаемой жидкости коэффициент теплопроводности за­висит от температуры или постоянен. Если k=k(T), то урав­нение (1.4.8) для температуры — нелинейное уравнение в частных производных второго порядка. В случае k=const уравнение (1.8) переходит в уравнение Лапласа

Функции, являющиеся решением уравнения Лапласа, называют­ся гармоническими. Следовательно, в рассматриваемом случае Т есть гармоническая функция.

Для решения уравнения Лапласа должны быть заданы гра­ничные условия. Чаще всего встречаются два типа граничных условий и соответственно формулируются две краевые задачи.

1. На поверхности S заданы значения температуры, т. е. — заданная функция точек поверхности (задача Дирихле).

2. На поверхности S задается значение нормальной производной (задача Неймана)

Это означает, что общее количество тепла, входящее и выходящее через поверхность S, равно нулю. При равновесии это условие выполнимо.

Если решать внешнюю задачу Неймана для безграничной области, то условие для потока тепла не ставится — тепло рас­сеивается.

Таким образом, в случае однородной несжимаемой жидкости задача об определении температуры решается независимо от задачи об определении давления.