Равновесие тяжелой несжимаемой жидкости. Закон Архимеда.

Для однородной несжимаемой жидкости уравнение равновесия можно записать в виде

, (1.4.38)

т.е. равновесие несжимаемой жидкости возможно только в потенциальном силовом поле. Пусть

F = - grad V. (1.4.39)

Тогда из (1.4.33) и (1.4.34) следует, что

, т.е.

. (1.4.40)

Постоянная интегрирования С находится из условия . Таким образом, найдено давление.

Если массовые силы – силы тяжести, то F_x = F_y = 0, F_z = - g и потенциал

V = gz. Из формулы (1.4.36) в этом случае получаем гидростатический закон

. (1.4.41)

Введем вместо z координату z′, положив

, т.е.будем отсчитывать z′ от так называемого приведенного уровня (p=0 при ). Тогда формула для давления примет вид

p = -ρ g z′. (1.4.42)

Пусть в жидкость погружено тело. Поверхность этого тела S, объем τ. Вычислим главный вектор F^s и главный момент L сил, действующих со стороны жидкости на тело. Учитывая, что поверхность S замкнутая, находим проекции главного вектора

,

,

. (1.4.43)

Таким образом, на тело, погруженное в жидкость, действует сила, направленная снизу вверх и равная весу жидкости в объ­еме этого тела. Вычислим проекции главного момента.

,

,

.

Введем координаты центра тяжести объема

, .

Тогда выражения для L_x, L_y, L_z можно записать в виде

, , . (1.4.44)

Формулы (1.4.43) решают задачу о нахождении момента.

Известно, что система сил приводится к одной равнодей­ствующей, если скалярное произведение главного вектора на главный момент равно нулю. В нашем случае это имеет место:

(F · L) = F_XL_X + F_yL_y + F_zL_z = 0.

Выберем начало координат так, чтобы х₀ = y₀ = 0, т. е. чтобы ось z' проходила через центр тяжести объема. Тогда все со­ставляющие момента будут равны нулю.

Таким образом, система сил, действующих на тело, погру­женное в однородную несжимаемую жидкость, находящуюся в поле сил тяжести, статически эквивалентна одной силе, равной по величине весу жидкости в объеме тела и направленной вер­тикально вверх, причем линия действия этой силы проходит че­рез центр тяжести объема тела.