Уравнения равновесия и условия их разрешимости

Рассмотрим покоящуюся жидкость. В этом случае в жидкости наблюдаются только нормальные напряжения, причем их величина не зависит от ориентировки площадки. В данном случае для задач о равновесии жидкости не существенно различие между идеальной и вязкой жидкостью. Предположим, что у жидкости нет внутреннего момента и что для нее справедлив закон теплопроводности Фурье.

Запишем систему уравнений гидромеханики в общем виде

(1.4.1)

(1.4.2)

(1.4.3)

(1.4.4)

Так как жидкость находится в равновесии, то это означает, что υ ≡ 0 и

, а тогда для любой функции f:

Имея это в виду, обратимся к системе уравнений (1.4.1) – (1.4.4). Уравнение неразрывности (1.4.1) выполняется автоматически. Закон количества движение (1.4.2) в силу равенств τ _x = -ip, τ _y = -jp, τ _z = -kp запишется в виде

(1.4.5)

Уравнение энергии примет вид

(1.4.6)

Уравнения (1.4.4), (1.4.5), (1.4.6) образуют систему уравнений равновесия. Предполагая, что объемных источников тепла нет, т. е. ε =0, и учитывая закон Фурье t = k grad T, где k = k(p, T), получим систему уравнений равновесия в виде

(1.4.7)

(1.4.8)

(1.4.9)

В системе уравнений равновесия пять уравнений, а искомых функций три: ρ, p, T. Система переопределена. Это означает, что равновесие возможно не всегда. Получим условия разрешимости системы (1.4.7) – (1.4.9).

Выпишем уравнения (1.4.7) в проекциях:

(1.4.10)

Продифференцируем первое уравнение по y, второе по x и вычтем одно из другого. Получим

(1.4.11)

Аналогично получим еще два уравнения

(1.4.12)

(1.4.13)

Умножая (1.4.11) на F_z, (1.4.12) на F_x, (1.4.13) на F_y и складывая, получим

(1.4.14)

или в векторном виде F = rot F = 0.

Условие (1.4.14) необходимо для возможности равновесия. Это условие есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы векторное поле F имело вид

F = B grad V, (1.4.15)

где B и V – некоторые функции координат.

Подставляя (1.4.15) в (1.4.7) получаем

(1.4.16)

(1.4.17)

Аналогично получим

,

Равенства (1.4.17) означают, что между p и V имеется функциональная зависимость

V = Q (p). (1.4.18)

Равенство (1.4.14) и эквивалентное ему равенство (1.4.15) дает общий вид сил, при которых возможно равновесие. При выполнении (1.4.14) силовые линии ортогональны к поверхностям V = const. Направление F параллельно grad V.