Модели идеальной жидкости и вязкой ньютоновской жидкости. Тензоры напряжения для них.

Введем модели сплошной среды, которые отражали бы действительные свойства жидкости и были бы достаточно удобны для получения замкнутой системы уравнений и ее решения. В рассматриваемых моделях тензор напряжений симметричен.

Жидкость называется идеальной, если в ней отсутствуют касательные напряжения и наблюдаются только нормальные напряжения. Таким образом, на движущуюся жидкость распространяется свойство, которое наблюдается в жидкости при равновесии или ее движении как абсолютно твердого тела. В реальных жидкостях касательные напряжения не равны нулю, но часто встречаются случаи, когда касательные напряжения малы по сравнению с нормальными. Будем считать жидкость идеальной. Во всех случаях справедлива формула Коши.

τ _n = τ _x cos (n, ˆ х) + τ _ycos (nˆ, у) + τ _zcos (n ˆ, z). (1.3.26)

По определению идеальной жидкости

τ _п = р_пп, τ _х = р_хi, τ _y = р_yj, τ _z = p_zk. (1.3.27)

Подставив (1.3.27) в (1.3.26), получим

р_пп = p_xi cos (n, ˆ х) + р_уj cos (n, ˆ у) + p_zk cos (n, ˆ z). (1.3.28)

Поскольку

n = cos (n, ˆ х) i + cos (n, ˆ у) j + cos (n, ˆ z) к, (1.3.29)

из (1.3.28) следует, что

p_n = p_x = p_y = p_z = — p. (1.3.30)

Формулы (1.3.27) перепишутся в виде

τ _x = -pi, τ _y=pj, τ _z=-pk. (1.3.31)

Из (1.3.31) следует, что в идеальной жидкости величина нормаль­ного напряжения не зависит от ориентировки площадки. Вели­чину р называют давлением. Из (1.3.31) следует, что составляющие тензора напряжений

τ _ii = — р, τ _ik = 0 (i ≠ k). Тензор напря­жений идеальной жидкости будет иметь вид

. (1.3.32)

В тензор (1.3.32) входит только величина p – скаляр.

Вязкой называют жидкость, в которой при движении кроме нормальных напряжений наблюдаются и касательные напря­жения. Рассмотрим эксперимент, который проводил еще Ньютон. Имеются две плоскости, между которыми находится жидкость. Нижняя пластина закреплена, верхняя движется параллельно нижней на расстоянии h со скоростью υ. Опыт показывает, что сила f, которую надо приложить к верхней пластине, где S — площадь пластины. Сила, приходящаяся на единицу площади, в нашем случае касательное напряжение

. (1.3.33)

Здесь μ — коэффициент, который зависит от свойств жидкости.

Этот же опыт дает распределение скоростей жидкости: на неподвижной пластине скорость жидкости равна нулю, на верх­ней — равна скорости пластины. Распределение скоростей по­перек линейно зависит от расстояния

. (1.3.34)

В силу (1.3.34) , и выражение для τ _yx можно записать в виде

.

Для многих жидкостей равенство (1.3.33) выполняется с большой степенью точности. Коэффициент μ называется коэффициентом вязкости. Причиной вязкости (касательных напряжений) является хаотическое движение молекул, переход которых из слоя в слой создает торможение этих движущихся слоев относительно друг друга.

В соответствие с рассмотренным опытом можно вывести связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций в общем случае.

Жидкость называется вязкой ньютоновской, если выполнены следующие условия:

1) в жидкости, когда она движется как абсолютно твердое тело или находится в покое, наблюдаются только нормальные напряжения;

2) компоненты тензора напряжений есть линейные функции компонент тензора скоростей деформаций;

3) жидкость изотропна, т. е, ее свойства одинаковы по всем направлениям.

Условие 1) означает, что τ _ik = О при i≠ k, если все ε _mn = 0.

Условие 2) означает, что τ _ik могут быть представлены через ε _mn (учитывая симметрию тензора напряжений).

Условие З) означает, что коэффициенты α _ik не зависят от выбора системы координат.

В главных осях тензора скоростей деформаций касательные напряжения в вязкой жидкости равны нулю. Но такие оси есть главные оси тензора напряжений. Следовательно, главные оси тензора скоростей деформаций одновременно являются и глав­ными осями тензора напряжений.

(1.3.35)

Равенство (1.3.35) устанавливает связь между компонентами двух тензоров (правую часть можно записать в виде одного тензора) в главных осях. Но если два тензора равны между собой в ка­ких-то осях координат, то они будут равны и в любых других осях координат, так как компоненты тензора при переходе к другой системе преобразуются по одним и тем же законам.

Таким образом, связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций в любых осях координат имеет вид

(1.3.36)

Для составляющих получим

,

.

Получим окончательное выражение для составляющих тензора напряжений в вязкой жидкости:

,

,

,

,

,

. (1.3.37)

В формулы (1.3.36), (1.3.37) входят два параметра: λ и μ. Если λ =μ =0, то тензор напряжений вязкой жидкости обращается в тензор напряжений идеальной жидкости. Коэффициент μ, назы­вают коэффициентом вязкости (или сдвиговой вязкости), λ — вторым коэффициентом вязкости (или коэффициентом объем­ной вязкости). Часто коэффициентом объемной вязкости называют не λ, а величину λ ′ = λ +⅔ μ.. Наряду с μ для несжимае­мой жидкости часто рассматривают величину ν, называемую ки­нематическим коэффициентом вязкости

Коэффициент μ может быть определен экспериментально; в случае, если известен закон межмолекулярного взаимодействия, его можно вычислить теоретически. Величина μ слабо зависима от давления. Наиболее часто используют приближенные формулы для зависимости от температуры. Для небольших интервалов температур используют линейную зависимость

Здесь α берется из эксперимента, μ ₀ – значение коэффициента вязкости при Т=Т₀.

Второй коэффициент вязкости λ исследовать трудно. В слу­чае, если жидкость несжимаема, то divv = 0 и он выпадает из уравнений.