Тензор напряжений и физический смысл его компонент

Будем исходить из формулы Коши. Формула Коши

τ _n = τ _x cos (n, ˆ х) + τ _ycos (nˆ, у) + τ _zcos (n ˆ, z). (1.3.19)

дает возможность вычислить напряжение в точке на площадке с нормалью n,

если известны τ _x, τ _y, τ _z — напряжения, действующие на площадки,

перпендикулярные со­ответствующим осям координат. Из формулы Коши следует, что напряжение в точке как угодно ориентированной площадки может быть вычислено, если известна таблица из девяти величин:

(1.3.20)

Докажем, что таб­лица (1.3.20) является аффинным ортогональным тензором второго ранга. Для этого надо найти формулы преобразования τ _ik при переходе от одной системы координат х, у, z к другой х', у', z'. Обозначим орты координатных осей соответственно через i, j, k и i', j', k'. Получим

τ _x′ = τ _xα ₁₁ + τ _yα ₁₂ + τ _zα ₁₃

τ _y′ = τ _xα ₂₁ + τ _yα ₂₂ + τ _zα ₂₃ (1.3.21)

τ _z′ = τ _xα ₃₁ + τ _yα ₃₂ + τ _zα ₃₃

Рассмотрим одну из этих формул. Предста­вим τ _х' через проекции τ _{x′ x′,} , τ _{x′ y′,} ,

τ _{x′ z′} на оси х', у', z'.

τ _x′ = i′ τ _{x′ x′} + j′ τ _{x′ y′} + k′ τ _{x′ z′.} (1.3.22)

Соответственно τ _x, τ _y, τ _z — через проекции на оси х, у, z:

τ _x = iτ _xx + jτ _xy + kτ _xz

τ _y = iτ _yx + jτ _yy + kτ _yz (1.3.23)

τ _x = iτ _zx + jτ _zy + kτ _zz

Подставляя (1.3.22) и (1.3.23) в (1.3.21) получаем векторное равенство

i′ τ _{x′ x′} + j′ τ _{x′ y′} + k′ τ _{x′ z′} = α ₁₁(iτ _xx + jτ _xy + kτ _xz) + α ₁₂ (iτ _yx + jτ _yy + kτ _yz) +

+ α ₁₃ (iτ _zx + jτ _zy + kτ _zz) (1.3.24)

Умножая последовательно (1.3.24) скалярно на i′, j', k', получим выражения для τ _{x′ x′} , τ _{x′ y′} , τ _{x′ z′} через составляющие таблицы Т в координатах (х, у, z).

Выпишем одно из равенств (заметим, что (i'· i) = α ₁₁, (i'· j)= α _12, (i'· k)= α ₁₃):

τ _{x′ x′} = α ₁₁ α ₁₁τ _xx + α ₁₁ α ₁₂τ _xy + α ₁₁ α ₁₃τ _xz + α ₁₂ α ₁₁τ _yx + α ₁₂ α ₁₂τ _yy + α ₁₂ α ₁₃τ _yz + α ₁₃ α ₁₁τ _zx + α ₁₃ α ₁₂τ _zy + α ₁₃ α ₁₃τ _zz. (1.3.25)

Получим аналогичные выражения для остальных шести составляющих. Из равенства (1.3.25) видно, что составляющие таблицы Т при переходе от одной системы координат к другой преобразуются как компоненты аффинного ортогонального тензора второго ранга. Тензор Т = ||τ _ik|| назы­вается тензором напряжений.

Физический смысл компонент тензора напряжений очевиден. Возьмем вектор τ _x — напряжение на площадку, перпендикуляр­ную оси х (рис. 1.29):

τ _x = τ _xxi + τ _xyj + τ _xzk.

Здесь τ _xx — нормальное напряжение; τ _xy, τ _xz, являющиеся про­екциями вектора τ _x на оси координат у и z, есть напряжения, касательные к площадке.

Рис. 1.29

Таким образом, диагональные компоненты тензора дают нор­мальные составляющие напряжений, боковые компоненты дают касательные составляющие напряжений, приложенных к пло­щадкам, перпендикулярным осям координат.