Лабораторная работа № 12-14

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера – Коши, Рунге-Кутта, метода Адамса

Необходимые сведения из теории.

Общее и частное решения обыкновенного дифференциально­го уравнения 1-го порядка. Интегральные кривые. Задача Коши. Теорема Пикара. Геометрический смысл правой части дифференциального урав­нения, разрешенного относительно производной. Понятие численного решения. Ломаная Эйлера.

Метод Эйлера-Коши, его геометрический смысл. Метод Рунге-Кутта. Метод Адамса. Оценка погрешности численного решения методом двойного пересчета.

Задание

Используя метод Эйлера-Коши, найдите численное решение дифференциального уравнения на отрезке [а; Ь] с шагом h = 0, 1, удов­летворяющее начальному условию у(х₀) = у₀ (в таблицу простав­лять улучшенные значения y_i^*, найденные двукратными вычисле­ниями с шагом h/2 = 0, 05). Оцените погрешности чисел y_i^* методом двойного пересчета и определите верные значащие цифры этих чи­сел. Начертите ломаную Эйлера.

Уравнения по вариантам

Вариант	Уравнение	x0	y0	[a; b]
			0, 8	[0; 1]
		1, 8		[1, 8; 2, 8]
			1, 2	[0; 1]
				[0; 1]
		1, 6		[1, 6; 2, 6]
			-1	[0; 1]
		-1	0, 5	[-1; 0]
		-2		[-2; -1]
				[1; 2]
				[2; 3]
				[2; 3]
				[1; 2]
			-1	[1; 2]
		1, 5		[1, 5; 2, 5]
				[0; 1]

Порядок выполнения работы

1. Убедитесь в существовании и единственности решения постав­ленной задачи Коши.

2. Вычислите вручную у₁^* и оцените его погрешность.

3. Составьте программу вывода таблицы

где y_i — приближение к значению точного решения в точке х_i, най­денное однократным вычислением по методу Эйлера - Коши (с ша­гом h = 0, 1), E_i— оценка погрешности значения y_i^*.

4. Получите искомое численное решение, выписывая табличные значения с верными значащими цифрами.

5. Постройте соответствующую ломаную Эйлера.

Решить соответствующее уравнение по методу Рунге-Кутта 4-го порядка точности. Задание и порядок выполнения работы тот же самый.

Решить соответствующее уравнение по методу Адамса 4-го порядка точности, использовав в качестве y₀. y₁, y₂, y₃ значения, полученные с помощью метода Рунге-Кутта 4-го порядка точности. Задание и порядок выполнения работы тот же самый.