Кривизна плоской кривой

М М 0 a a+! a Рис. 22

Кривизну плоской кривой в точке М 0 определим как , где! s – часть дуги кривой между точками М 0 и М (см. рис. 22). Кривизна определяет темп изменения угла a наклона касательной по отношению к изменению длины дуги! s. Если кривая задана параметрически, т.е. , то и

Учитывая, что , , для кривизны получим формулу

.

Сравнивая формулы и, получим соотношение .

Если кривая С задана явным уравнением, то формула принимает вид:

.

В случае задания кривой неявным уравнением F (x, y) = 0, её кривизна будет вычисляться по формуле . В полярных координатах кривизна вычисляется по формуле: .

Признаком точки распрямления кривой является соотношение или .

§3. Векторы

Для каждой плоской кривой в каждой её точке можно построить местную ортогональную систему координат, взяв за её начало саму точку кривой, а в качестве осей – касательную и нормаль к кривой.

Пусть кривая задана уравнением или Единичный вектор, направленный по касательной в сторону возрастания параметра s, назовём единичный вектор нормали назовём .

Ранее мы получили, что Т.е. если уравнение кривой имеет вид , то В предыдущей главе мы показали (лемма 1), что , поэтому в качестве можно взять вектор, параллельный Условимся направлять вектор в сторону вектора Точки, в которых , мы пока не рассматриваем. В дальнейшем мы увидим, что это точки распрямления.

Если направление отсчёта дуги s изменить на обратное (т.е. s заменить на – s), то меняет знак, т.к. знак не меняет, а ds знак меняет. Что же касается величины , она знака не меняет, т.к. здесь числитель и знаменатель меняют знак одновременно. Из этих рассуждений следует, что вектор в заданной точке вполне определён, вектор же меняет своё направление на обратное вместе с напрaвлением отсчёта дуги s.

Покажем теперь, что центр кривизны C (a, b) всегда лежит на нормали . Введём систему координат с началом в точке М, положив Тогда в этой системе координат уравнение нашей кривой будет иметь вид: . Дифференцируя дважды, получим:

М (х 0, у 0) Рис. 23

Т.к. в точке М , то . Кроме того, вектор совпадает с вектором : . Отсюда получим: , следовательно, , Откуда и следует требуемый результат.

Найдём теперь координаты центра кривизны:

Т.к. , то b> 0, т.е. центр кривизны находится на положительной полуоси Оу, следовательно, на нормали . Т.к. MC=R, то .

Т.о. вся соприкасающаяся окружность расположена над касательной в сторону вектора . А т.к. кривая вблизи точки М уклоняется от соприкасающейся окружности на бесконечно малую величину , то и кривая вблизи точки М расположена в сторону от касательной.