Длина дуги

Мы знаем, что (см. рис. 17). Вектор . Из формулы Тейлора при п =1 имеем: . Но , откуда . Из получим , т.е.

Рис. 17

,

где – любая хорда кривой, соединяющая точку М ₀ с произвольной точкой М нашей кривой, а константа С одна и та же для любых t, t ₀.

Пусть теперь нам задана кривая своим векторным уравнением .

Отрезок разобьём точками деления . Значения порождают на кривой точки . На дуге имеем хорду , вектор касательной . Составим интегральные суммы

Рис. 18

— сумма длин ломаных и , где . Обозначим и докажем, что .

Из определения s₁ и s₂ следует: . Тогда . Используя, получим:

.

За длину кривой принимают В качестве параметра t обычно выбирают длину дуги.

. Пусть М 0 – начало отсчёта параметра t. Дуга . Если , то s > 0, при . Т.е. s=s (t). При этом . Итак, на участке s (t)> 0, на участке М 0 Т 0 s (t)< 0. При Т.е. функция s (t) – возрастаю-

Рис. 19

щая. Она имеет обратную . Тогда можем получить .

Следствие 1. , откуда .

Следствие 2. Из предыдущего следствия , т.е. производная радиуса-вектора по дуге есть единичный вектор.

Следствие 3. Напомним ряд фактов, которые понадобятся в дальнейшем.

Имеет место соотношение . Тогда .

В частности, если t=x, .

В полярных координатах .