Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Соприкасающаяся окружность
Кривизна – важнейшая характеристика кривой. В бесконечно малом, в окрестности рассматриваемой точки кривой для исследования поведения кривой в этой точке мы заменяем кривую близким геометрическим объектом, более простым и наглядным. Таким простейшим геометрическим объектом до сих пор была касательная – прямая в рассматриваемой точке кривой. Т.е. кривую мы отождествляли с прямой с точностью О (! t): в разложении по формуле Тейлора мы пренебрегали слагаемыми порядка О (! t 2). Если же такая точность нас не устраивает, то мы должны найти такой образ, который был бы а) достаточно простым, б) приближал бы нашу кривую с точностью О (! t 2). Таким простым геометрическим образом является окружность.
метры окружности a, b, R так, чтобы . Тогда мы и будем иметь касание второго порядка. Итак, . Покажем, что разность имеет тот же порядок малости, что и . Для этого найдём . Для исследования уклонения LM нам удобнее исследовать выражение . OL=R, (см. рис. 21). Тогда . Разложим j (t) по формуле Тейлора в окрестности точки t 0: . Потребуем, чтобы j (t)= О (! t 3). Тогда должны быть выполнены равенства: j (t 0) = j¢ (t 0) = j² (t 0) или Из последних двух уравнений находим разности и : Естественно, для справедливости формул мы предполагаем, что знаменатель в них отличен от нуля. Тогда из можно найти центр соприкасающейся окружности (a, b), а затем из первого из равенств – её радиус: (Доказать самим) Центр соприкасающейся окружности (a, b) называется центром кривизны кривой в точке t=t 0, а R – радиусом кривизны. В случае же обращения в нуль знаменателя в формулах, т.е. , у нас и соприкасающаяся окружность превращается в касательную. В этом случае точка М 0 называется точкой распрямления. Если же кривая С задана явно, т.е. , формулы и примут вид: Замечание. Уклонение LM в качестве главной своей части имеет слагаемое , которое меняет свой знак при переходе через точку t 0. Т.е. LM меняет знак при переходе через точку касания М 0. Следовательно, кривая в точке касания, вообще говоря, переходит с одной стороны соприкасающейся окружности на другую.
|