Соприкасающаяся плоскость

Пусть кривая задана параметрическим уравнением или кратко . Проведём через произвольную точку кривой M (t) произвольную плоскость, в точке М построим нормаль к этой плоскости, (см. рис. 26). Дадим параметру t приращение! t. Получим точку М¢ на кривой. Расстояние от неё до плоскости есть . Ясно, что если! t ®0,

M¢ (t+! t)   P Рис. 26

то и . При этом бесконечно малое расстояние может иметь различный порядок малости относительно! t. Говорят, что в точке М кривая имеет с плоскостью касание не ниже п-го порядка, если = о (! t^{п +1}). Говорят, что в точке М кривая имеет с плоскостью касание точно п-го порядка, если = О (! t^{п +1}).

В качестве параметра t можно взять s – длину дуги.

Точная формулировка решаемой нами задачи звучит так: найти плоскость, проходящую через точку М с наивысшим возможным порядком касания с заданной кривой в точке М.

Вектор . Разложив по формуле Тейлора, получим: С другой стороны, отрезок РМ ¢ есть проекция вектора на нормаль к плоскости[4]⁾. Поэтому Рассмотрим некоторые случаи.

1) . Тогда РМ¢ =О (! t). Касательная к кривой не ортогональна , т.к. , т.е. касательная не лежит в нашей плоскости, т.е. плоскость пересекает кривую в точке М.

2) . Разложение начинается с бесконечно малых не ниже второго порядка малости: РМ¢ =о (! t). У нас касание первого порядка. Геометрически это означает, что касательная лежит в нашей плоскости. Касание первого порядка имеют только те плоскости, которые проходят через касательную к кривой (касательные плоскости). Но через прямую можно провести множество плоскостей. Т.е. мы имеем пучок касательных плоскостей. В этом случае не все они равноценны.

3) В этом случае (касательной) и (вектору кривизны). В данном случае плоскость проходит через векторы и Она имеет с кривой касание второго порядка. Такая плоскость называется соприкасающейся.

Мы показали, что если  , то имеется единственная соприкасающаяся плоскость, проходящая через векторы и , выходящие из точки касания.

Среди всех касательных плоскостей соприкасающаяся наиболее тесно «прилажена» к кривой в окрестности рассматриваемой точки: при смещении из точки М в точку М¢ по кривой уклонение от этой кривой не ниже О (! t ³). Т.е. пренебрегая бесконечно малыми выше третьего порядка любую пространственную кривую в малой окрестности точки М (t) можно считать плоской, лежащей в соприкасающейся плоскости в этой точке.

Наглядная интерпретация приведена на рис. 27. Вектор . Взяв одно слагаемое в этом разложении , мы получим смещение по касательной, т.е. смещение в соприкасающейся плоскости. Добавив второе слагаемое , мы сместимся вдоль вектора , т.е. опять оста-

Рис. 27

немся в соприкасающейся плоскости. И только, добавив третье слагаемое, мы выйдем из соприкасающейся плоскости в трёхмерное пространство, дойдя до точки . С погрешностью можно считать, что точка лежит в соприкасающейся плоскости.

Если же М – точка распрямления, т.е. (откуда следует, что уклонение кривой от касательной не ниже , касание между кривой и касательной – и соприкасающаяся плоскость в этом случае не определена. Этой плоскостью может служить любая касательная плоскость из пучка касательных плоскостей, проходящих через касательную к кривой.