Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Свойства смешанного произведения.






    1. Операции векторного и скалярного произведения можно переставить местами, то есть ( ´ ) = ( ´ ), поэтому смешанное произведение обозначают просто .
    2. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанное произведение: = = .
    3. Перестановка двух сомножителей меняет знак смешанного произведения: = – = – = – .
    4. Геометрический смысл смешанного произведения: объем параллелепипеда, ребра которого задаются векторами , и , равен .
    5. Критерий ориентации тройки векторов , , : тройка правая, если
      > 0, и тройка левая, если < 0.
    6. Критерий компланарности: векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда = 0.
    7. Если = (a 1, a 2, a 3), = (b 1, b 2, b 3), = (c 1, c 2, c 3), причем базисные векторы образуют правую тройку, то .

    Пример 8. Найти объем параллелограмма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, если заданы координаты вершин A (3, 2, 0), C (2, –1, 2) D (1, 3, –4), C 1(4, 5, 7).

    Решение. Изобразим параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на рисунке (не стараясь согласовывать положение вершин с их координатами), чтобы понять, какие векторы задают ребра параллелепипеда. Так как заданы точки A, C, D, C 1, то естественно использовать векторы , и :

    = (3 – 1, 2 – 3, 0 + 4) = (2, –1, 4);

    = (2 – 1, –1 – 3, 2 + 4) = (1, –4, 6);

    = (4 – 2, 5 + 1, 7 – 2) = (2, 6, 5).

    Тогда

    = = 2(–20 – 36) – 1(5 – 12) + 4(6 + 8) = –49;

    V = 49.






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.