Моделі стаціонарних випадкових процесів із дискретним часом

Випадкові процеси з дискретним часом належать до множини часових рядів, тобто впорядковані по часу і являють собою скінченні або зліченні послідовності випадкових величин (більш докладне означення часового ряду наведено в наступному підрозділі 4.3). Така модель широко використовується для опису сигналів при вирішенні різноманітних прикладних задач.

Використання засобів обчислювальної техніки при аналізі сигналів пов’язано з перетворенням неперервних сигналів в сигнали з дискретним часом, що знову приводить до розгляду часових рядів.

На сьогодні розроблені ймовірнісні і статистичні методи аналізу часових рядів. Класичні результати аналізу приведені в роботах Т.В.Андерсона (T.W.Anderson), М.С.Бартлета (M.S.Bartlett), У.Гренандера (U.Grenander), Дж.Дуба (J.L.Doob), А.М.Колмогорова, Г.Крамера (H.Cramer), М.Розенблата (M.Rosenblatt), Е.Хеннена (E.J.Hannan) та інших.

В цьому підрозділі коротко зупинимось на результатах аналізу стаціонарних процесів з дискретним часом. Для слабо стаціонарного процесу з дискретним часом має місце теорема Герглотца (G.Herglotz, 1911р.).

ТЕОРЕМА ГЕРГЛОТЦА. Для довільної дійсної стаціонарної послідовності функція може бути представлена у вигляді

(4.6)

де дійсна, неперервна зліва, неспадна функція на відрізку , для якої

Зауважимо, що при цьому

(4.7)

Ця теорема є аналогом теореми Хінчина для процесів з неперервним часом. Наведемо дещо змінене формулювання теореми Герглотца для дійсного процесу, в формі, яка буде зручною для пояснення наступних викладок. При цьому функції та набувають іншого змісту, який буде зберігатися на протязі всього подальшого матеріалу.

ТЕОРЕМА. Якщо - дійсний, слабо стаціонарний випадковий процес з то його кореляційна функція може бути представлена у вигляді

(4.8)

де - називається спектральною функцією процесу і визначається за допомогою співвідношення

. (4.9)

У випадку, коли відомі значення спектральна функція визначається за допомогою ряду Фур'є-Стілтьєса. Враховуючи (4.9), можна записати

, (4.10)

зауваживши при цьому, що формула (4.8) в загальному випадку дозволяє визначити коефіцієнти Фур'є-Стілтьєса цього ряду. Це означає, що при потрібно взяти доданок .

Відзначимо, що вимога потрібна для забезпечення співвідношення (4.9). Спектральна функція задає спектральну міру на колі. Спектральна функція є дійсна, неспадна і може змінюватися як неперервно так і стрибками і на відміну від раніше введених спектральних функцій, тут відсутнє нормування та допускаються не нульові значення при , тобто повна зміна на інтервалі дорівнює , де - дисперсія або середня потужність процесу , а . Із співвідношення (4.9) зразу випливає, що при всіх , тому повністю визначається своїми значеннями на інтервалі

Якщо існує абсолютно неперервна функція , така, що

(4.11)

то називають спектральною щільністю потужності процесу з дискретним часом. Для дійсного процесу дійсна і .

Формула (4.8), при умові, що існує , визначає коефіцієнти ряду Фур'є для спектральної щільності, тому можна зобразити рядом Фур'є у вигляді

(4.12)