Стаціонарні випадкові процеси

Фізичний процес можна описати у будь-який момент часу шляхом осереднення за множиною вибіркових функцій, що характеризують досліджуваний процес. Розглянемо, наприклад, множину вибіркових функцій (так званий ансамбль), що утворюють випадковий процес (рис. 3.3)

Рис. 3.3.

Середнє значення (перший момент розподілу) випадкового процесу в момент часу може бути знайдено шляхом підсумовування миттєвих значень кожної вибіркової функції ансамблю в момент і ділення цієї суми на число вибіркових функцій. Аналогічним чином кореляція між значеннями випадкового процесу у два різних моменти (мішаний момент, що називається автокореляційною функцією, основні означення і властивості якої наведено у підрозділі 3.6 даної лекції) визначається шляхом осереднення за ансамблем добутків миттєвих значень цього процесу у моменти та . Інакше кажучи, середнє значення і автокореляційна функція випадкового процесу (фігурні дужки означають ансамбль вибіркових функцій) визначаються із співвідношень

, (3.2)

, (3.3)

де - час зсуву точки спостереження. При підсумовуванні передбачається, що поява всіх вибіркових функцій є рівноймовірною.

У тому випадку, коли функції і , що визначаються співвідношеннями (3.2) і (3.3), змінюються із зміною моменту часу , випадковий процес називається нестаціонарним. У окремому випадку, коли функції та , є незалежними, випадковий процес має назву слабо стаціонарного, або стаціонарного у широкому сенсі. Середнє значення слабо стаціонарних процесів постійне, а автокореляційна функція залежить тільки від величини зсуву , тобто та .

Для випадкового процесу можна розрахувати нескінчену множину початкових і мішаних моментів більш високих порядків; їх сукупність повністю описує щільність розподілу досліджуваного процесу. Коли всі початкові і мішані моменти розподілу не залежать від часу, випадковий процес називається строго стаціонарним, або стаціонарним у вузькому сенсі.

Слід зазначити, що будь-яка ймовірнісна задача вважається повністю вирішеною, якщо знайдено її щільність розподілу, або всі початкові і мішані моменти. Крім того, для багатьох практичних задач, що стосуються побудови і дослідження ймовірнісних моделей, доведення слабкої стаціонарності цілком досить для слушності припущенності про строгу стаціонарність процесу, що розглядається.