Определение 2.8. Если множество ЕÌХ содержит все свои предельные точки, то оно называется замкнутым.

Пример 2.8. В пространства R¹ : Е ₁ = (a, b), = [ a, b ];

E ₂ = [ a, b ], = Е₂;

Е ₃ = (2, 4) È {6}; = [2, 4].

Пример 2.9. Пустое множество – замкнутое множество.

Определение 2.9. Точка х_о называется изолированной точкой множества Е, если существует e - окрестность этой точки, которая не содержит никаких других точек множества Е, кроме самой точки х _о .

Замечание 2.4. Каждая точка множества Е предельная или изолированная.

Пример 2.10. В метрическом пространстве R каждая точка множества {0, 1, 1/2, …}, кроме точки 0, является изолированной; точка 0 – предельная точка данного множества.

Определение 2.10. Точка х_о называется точкой прикосновения множества Е, если любая его e - окрестность содержит хотя бы одну точку множества Е.

Из определений 2.7, 2.9 и 2.10 следует, что каждая точка прикосновения множества Е может быть

- или предельной точкой множества Е, которая принадлежит множеству Е;

- или предельной точкой множества Е, которая не принадлежит множеству Е;

- или изолированной точкой множества Е.

Определение 2.11. Множество всех точек прикосновения множества Е называется замыканием множества Е и обозначается .

Замечание 2.5. = Е È Е¢.

Замечание 2.6. Множество замкнутое, если оно совпадает со своим замыканием.

Определение 2.12. Дополнением множества ЕÌ Х до множества Х называется множество всех точек множества Х, которые не принадлежат множеству Е. Это множества обозначается С_хЕ или СЕ.